Задача 75855 a) Решите уравнение sin^4(x/4) -...
Условие
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежа [4п;7п]
Решение
Левую часть можно разложить как разность квадратов:
sin^4 (x/4) - cos^4 (x/4) =
= (sin^2 (x/4) - cos^2 (x/4))(sin^2 (x/4) + cos^2 (x/4)) =
= (sin^2 (x/4) - cos^2 (x/4))*1 = -cos (x/2)
Далее, по формулам приведения:
sin (π/2 + x) = cos x
Получаем уравнение:
-cos (x/2) = cos x
cos x + cos (x/2) = 0
Применим формулу косинуса двойного аргумента:
2cos^2 (x/2) - 1 + cos (x/2) = 0
Получили квадратное уравнение относительно cos (x/2):
(cos (x/2) + 1)(2cos (x/2) - 1) = 0
1) cos (x/2) = -1
x/2 = π + 2π*k, k ∈ Z
[b]x1 = 2π + 4π*k, k ∈ Z[/b]
2) cos (x/2) = 1/2
x/2 = ± π/3 + 2π*n, n ∈ Z
[b]x2 = ± 2π/3 + 4π*n, n ∈ Z[/b]
б) Корни на промежутке [4π; 7π]
k = 1; x1 = 2π + 4π = 6π ∈ [4π; 7π]
n = 1; x2 = +2π/3 + 4π = 14π/3 ∈ [4π; 7π]
Ответ:
а) [b]x1 = 2π+4π*k, k∈Z[/b]; [b]x2 = ±2π/3+4π*n, n∈Z[/b]
б) [b]x1 = 6π; x2 = 14π/3[/b]