Задача 75761 ...
Условие
Решение
Во-первых, область определения функции логарифма:
{ 3 - x > 0
{ x^2 - 6x + 9 > 0
Получаем:
{ x < 3
{ (3 - x)^2 > 0
Второе неравенство верно при любом x ≠ 3, поэтому:
x ∈ (-oo; 3)
Во-вторых, в логарифмах переходим к новому основанию.
Для этого воспользуемся известной формулой:
[m]log_{a} (b) = \frac{log_{c} (b)}{log_{c} (a)}[/m]
При этом новое основание с может быть любым, лишь бы соблюдались условия для логарифмов: c > 0, c ≠ 1.
А также формулой отрицательного логарифма:
[m]log_{a} (\frac{1}{b}) = -log_{a} (b)[/m]
Мы можем перейти к новому основанию 3.
[m]log_{1/27} (3-x) = \frac{log_{3} (3-x)}{log_{3} (1/27)} = \frac{log_{3} (3-x)}{-log_{3} (27)} = \frac{log_{3} (3-x)}{-3} = -\frac{1}{3}\ log_{3} (3-x)[/m]
[m]log_{1/9} (x^2 - 6x + 9) = \frac{log_{3} (3-x)^2}{log_{3} (1/9)} = \frac{2log_{3} (3-x)}{-log_{3} (9)} = \frac{2log_{3} (3-x)}{-2} = -log_{3} (3-x)[/m]
Получаем такое неравенство:
[m]x^2 \cdot (-\frac{1}{3}\ log_{3} (3-x)) ≥ -log_{3} (3-x)[/m]
Меняем знаки, при этом меняется знак неравенства:
[m]x^2 \cdot \frac{1}{3}\ log_{3} (3-x) ≤ log_{3} (3-x)[/m]
Переносим правую часть налево:
[m]\frac{1}{3} \cdot x^2 \cdot log_{3} (3-x) - log_{3} (3-x) ≤ 0[/m]
Выносим логарифм за скобки:
[m]log_{3} (3-x) \cdot (\frac{1}{3} \cdot x^2 - 1) ≤ 0[/m]
Если произведение ≤ 0, значит, множители имеют разные знаки.
Получаем два варианта с учетом области определения:
1)
{ x < 3
{ log_3 (3-x) ≤ 0
{ 1/3*x^2 - 1 ≥ 0
Решаем:
{ x < 3
{ 3 - x ≤ 1
{ x^2 ≥ 3
Получаем:
{ x ∈ (-oo; 3)
{ x ∈ [2; +oo)
{ x ∈ (-oo; -sqrt(3)] U [sqrt(3); +oo)
Решение этого варианта:
x1 ∈ [2; 3)
2)
{ x < 3
{ log_3 (3-x) ≥ 0
{ 1/3*x^2 - 1 ≤ 0
Решаем:
{ x < 3
{ 3 - x ≥ 1
{ x^2 ≤ 3
Получаем:
{ x ∈ (-oo; 3)
{ x ∈ (-oo; 2]
{ x ∈ [-sqrt(3); sqrt(3)]
Решение этого варианта:
x2 ∈ [-sqrt(3); sqrt(3)]
Ответ: x ∈ [-sqrt(3); sqrt(3)] U [2; 3)