Задача 75744 Стороны многоугольника ABC...

657758ae42718a6f375fd18d

12/11/2023 6:46:31 PM

Стороны многоугольника ABC (AB):2х-у-3=0, (АС):х+5у-7=0, (ВС):3х-2у+13=0 нужно написать уравнение его высоты, проведенной от вершины А.

5f282cfba9074b3a3bc0f013

2/14/2024 8:27:57 PM

★

Дано:
Уравнение прямой AB: 2x - y - 3 = 0
Уравнение прямой AC: x + 5y - 7 = 0
Уравнение прямой BC: 3x - 2y + 13 = 0

Высота из вершины А на противоположную сторону BC будет проведена перпендикулярно к этой стороне, поэтому ее угловой коэффициент будет обратно пропорционален угловому коэффициенту прямой BC.

Решение:

1. Найдем угловой коэффициент прямой BC. Для этого приведем уравнение этой прямой к общему виду y = kx + b. Имеем 3x - 2y + 13 = 0, переносим -2y влево и 3x + 13 вправо: -2y = -3x - 13, делим обе части на -2: y = 1.5x + 6.5. Таким образом, угловой коэффициент прямой BC равен k1 = 1.5.

2. Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой с угловым коэффициентом k1, равен k2 = -1/k1. Подставим k1 = 1.5: k2 = -1 / 1.5 = -2/3.

3. Теперь нужно найти точку А, являющуюся общей для прямых АВ и АС.
Для этого решим систему уравнений, составленную из уравнений этих прямых:
2x - y - 3 = 0
x + 5y - 7 = 0
Эту систему удобно решить методом подстановки: из первого уравнения выразим y через x: y = 2x - 3, и подставим во второе уравнение: x + 5(2x - 3) - 7 = 0, из чего следует x = 2, y = 2*2 - 3 = 1. Таким образом, А(2,1).

4. Теперь зная точку А(2,1) и угловой коэффициент k2 = -2/3, мы можем записать уравнение высоты из А. В общем виде уравнение прямой, проходящей через точку (x0, y0) и имеющей угловой коэффициент k, записывается как y - y0 = k(x - x0). Подставляем имеющиеся значения: y - 1 = -2/3 * (x - 2).

Ответ: уравнение высоты из вершины A выглядит как y - 1 = -2/3 * (x - 2), что можно упростить до 2x + 3y = 7.

65072156617881671792ea67

12/11/2023 7:09:03 PM

Для начала, найдем координаты вершины А, используя систему уравнений (AB) и (АС):

AB: 2x - y - 3 = 0
АС: x + 5y - 7 = 0

Решим эту систему методом подстановки.
Из уравнения (AB) выразим x:
2x = y + 3
x = (y + 3) / 2

Подставим это значение x в уравнение (АС):
(y + 3) / 2 + 5y - 7 = 0
Умножим все элементы на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
y + 3 + 10y - 14 = 0
11y - 11 = 0
y = 1

Теперь найдем x, используя найденное значение y:
x = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2

Таким образом, координаты вершины А равны (2, 1).

Поскольку нам нужно найти уравнение высоты, проведенной из вершины А, будем использовать уравнение прямой, проходящей через вершину А и перпендикулярной стороне BC.

Найдем угловой коэффициент стороны BC, используя ее уравнение 3x - 2y + 13 = 0:
3x - 2y + 13 = 0
2y = 3x + 13
y = (3x + 13) / 2

Угловой коэффициент для линии, перпендикулярной BC, будет обратным ему и с противоположным знаком. То есть, угловой коэффициент высоты будет равен -2/3.

Так как прямая проходит через точку (2, 1), используем уравнение прямой в форме