Задача 75726 ...
Условие
Решение
13x^2 = 14√x
Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы устранить корень:
(13x^2)^2 = (14√x)^2
169x^4 = 196x
Разделяем уравнение на 196x (исключая x = 0, так как это точка пересечения):
x^3 = 196 / 169
Таким образом, x = (196 / 169)^(1/3) или x = (14/13)^(2/3).
Точки пересечения: x = 0 и x = (14/13)^(2/3).
Теперь вычисляем площадь между кривыми, интегрируя разности функций от 0 до (14/13)^(2/3):
Площадь = ∫ от 0 до (14/13)^(2/3) (14√x - 13x^2) dx
Разделим интегрирование на два отдельных интеграла:
∫ от 0 до (14/13)^(2/3) (14x^(1/2)) dx
∫ от 0 до (14/13)^(2/3) (13x^2) dx
Вычислим оба интеграла:
28/3 * ((14/13)^(2/3))^(3/2) от 0 до (14/13)^(2/3)
13/3 * (14/13)^(2/3))^3 от 0 до (14/13)^(2/3)
Подставим верхние границы интегрирования:
(28/3) * (14/13)
(13/3) * (14/13) * (14/13)
Теперь найдем разность этих значений:
(28/3) * (14/13) - (13/3) * (14/13)^2
(28 * 14) / (3 * 13) - (13 * 14 * 14) / (3 * 13 * 13)
Произведем упрощения:
392 / 39 - 196 / 39
Вычитаем:
(392 - 196) / 39
196 / 39
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 13x^2 и y = 14√x, равна 196 / 39 квадратных единиц.