Задача 7571 ...

Julia_Trusova

3 сентября 2016 г. в 00:00

В ромб со стороной 10 и тупым углом (5·π)/6 вписана окружность. Определите площадь прямоугольника, вершины которого лежат в точках касания окружности со сторонами ромба.

∠BAD=∠BCD=(5·π)/6 (по условию), тогда ∠ABC=∠ADC=180–(5·π)/6=π/6
По теореме косинусов из △ABC :
AC=√10²+10²–2·10·10·cos(π/6)=√200–200·√3/2=√200·(1–√3/2)=10·√2·(1–√3/2)
AO=OC=AC/2=(10·√2·(1–√3/2))/2=5· √2·(1–√3/2)
По теореме косинусов из △BCD :
BD=√10²+10²–2·10·10·cos((5·π)/6)=√200+200·√3/2= 10·√2·(1+√3/2)
BO=DO=BD/2=(10·√2·(1+√3/2))/2=5· √2·(1+√3/2)
Пусть EC=CK=x, тогда BE=DK=10–x ; OE=y (т.к. OE – радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания, то OE⊥ВС)
По теореме Пифагора из △OEC:
y²+x²=(5·√2·(1–√3/2))²
y²=(5·√2·(1–√3/2))²–x²
y²=50·(1–√3/2)–x²
По теореме Пифагора из △OEB:
y²+(10–x)²=(5·√2·(1+√3/2))²
y²=(5·√2·(1+√3/2))²–(10–x)²
y²=25·2·(1+√3/2)–(10–x)²
Таким образом:
50·(1–√3/2)–x²=50·(1+√3/2)–(10–x)²
50–50· √3/2–x²–50–50· √3/2+100–20·x+x²=0
100–100· √3/2=20·x
x=5–2,5·√3
Значит, EC=CK=5–2,5·√3, BE=DK=10–(5–2,5·√3)=5+2,5·√3
По теореме косинусов из △MBE:
ME=√(5+2,5·√3)²+(5+2,5·√3)²–2·(5+2,5·√3)²·cos(π/6)=√2·(5+2,5·√3)²–2·(5+2,5·√3)²·√3/2)=√2·(5+2,5·√3)²·(1–√3/2))
По теореме косинусов из △ECK:
EK=√2·(5–2,5·√3)²–2·(5–2,5·√3)²·cos((5·π)/6)=√2·(5–2,5·√3)²·(1+√3/2)
S(NMEK)=ME·EK= √2·(5+2,5·√3)²·(1–√3/2))· √2·(5–2,5·√3)²·(1+√3/2)=2·(5+2,5·√3)·(5–2,5·√3)·√1–3/4=25–6.25·3=6,25


Ответ: 6,25