Задача 75700 Найти ранг матрицы приведением к...

65c1dfdf3f7efb2eafddb4a4

2/6/2024 7:30:24 AM

Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать
базисный минор.

-2 3 -1 1 6

3 -1 7 2 4

8 -3 2 7 -8

0 2 -13 4 -10

5f282cfba9074b3a3bc0f013

2/6/2024 2:49:49 PM

★

Для нахождения ранга матрицы приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Пошагово выполняем эти преобразования:

Исходная матрица:
-2 3 -1 1 6
3 -1 7 2 4
8 -3 2 7 -8
0 2 -13 4 -10


1. Поменяем местами первую и вторую строки для удобства (чтобы первый элемент первой строки был ненулевым):
3 -1 7 2 4
-2 3 -1 1 6
8 -3 2 7 -8
0 2 -13 4 -10


2. Делим первую строку на 3 (получаем ведущий элемент, равный 1):
1 -1/3 7/3 2/3 4/3
-2 3 -1 1 6
8 -3 2 7 -8
0 2 -13 4 -10


3. Прибавляем к второй строке первую строку, умноженную на 2, чтобы получить во второй строке первый элемент равный 0:
1 -1/3 7/3 2/3 4/3
0 8/3 4/3 5/3 22/3
8 -3 2 7 -8
0 2 -13 4 -10


4. Прибавляем к третьей строке первую строку, умноженную на -8:
1 -1/3 7/3 2/3 4/3
0 8/3 4/3 5/3 22/3
0 -1 -16 5 -24
0 2 -13 4 -10


5. Теперь делим вторую строку на 8/3, чтобы получить первый ненулевой элемент равным 1:
1 -1/3 7/3 2/3 4/3
0 1 1/2 5/8 11/4
0 -1 -16 5 -24
0 2 -13 4 -10


6. Прибавляем к третьей строке вторую строку, чтобы получить в третьей строке второй элемент равный 0, и удвоенную вторую строку к четвертой, чтобы в четвертой строке второй элемент также был равен 0:
1 -1/3 7/3 2/3 4/3
0 1 1/2 5/8 11/4
0 0 -31/2 33/8 -53/4
0 0 -27 15/4 -32


7. Теперь умножим третью строку на -2/31 и четвертую строку на -4/27, чтобы первый ненулевой элемент был равен 1:
1 -1/3 7/3 2/3 4/3
0 1 1/2 5/8 11/4
0 0 1 -33/124 53/62
0 0 1 -5/27 32/27


8. Теперь уменьшим четвертую строку, вычитая из нее третью строку, умноженную на 1, чтобы в четвертой строке третий элемент был равен 0:
1 -1/3 7/3 2/3 4/3
0 1 1/2 5/8 11/4
0 0 1 -33/124 53/62
0 0 0 89/124 -21/62


Таким образом, ступенчатый вид матрицы достигнут. Матрица приведена к виду в котором легко видеть, что ранг матрицы равен 3, так как имеется три ненулевые строки. Базисный минор - это квадратная подматрица строки без нолей с максимально возможным порядком. В данном случае базисным является минор, составленный из первых трех столбцов верхних трех строк:
1 -1/3 7/3
0 1 1/2
0 0 1


Ответ: Ранг матрицы равен 3, базисный минор - сформирован из первых трех столбцов верхних трех строк.