Задача 75656 ...
Условие
Решение
Замена [m]y=2^{4x-x^2-1}[/m], тогда [m]4^{4x-x^2-1} = y^2[/m]
Заметим, что при такой замене y > 0 при любом x.
Получили квадратное неравенство:
y^2 - 12y + 32 ≥ 0
(y - 4)(y - 8) ≥ 0
Решение неравенства:
y ∈ (-oo; 4] U [8; +oo)
Но мы знаем, что y > 0, поэтому:
y ∈ (0; 4] U [8; +oo)
Теперь решаем неравенства с x:
1) 2^(4x-x^2-1) ≤ 4
2^(4x-x^2-1) ≤ 2^2
4x - x^2 - 1 ≤ 2
x^2 - 4x + 3 ≥ 0
(x - 1)(x - 3) ≥ 0
x ∈ (-oo; 1] U [3; +oo)
2) 2^(4x-x^2-1) ≥ 8
2^(4x-x^2-1) ≥ 2^3
4x - x^2 - 1 ≥ 3
x^2 - 4x + 4 ≤ 0
(x - 2)^2 ≤ 0
Квадрат любого числа есть число неотрицательное.
Значит, это неравенство превращается в равенство:
x - 2 = 0
x = 2
Ответ: x ∈ (-oo; 1] U {2} U [3; +oo)