Задача 75284 Вычислить площадь параллелограмма,...
Условие
Решение
Площадь параллелограмма, построенного на векторах [m]\vec{a}[/m] и [m]\vec{b}[/m] , равна модулю их векторного произведения:
S_(параллелограмма)=[m]|\vec{a} × \vec{b} |[/m]
По условию:
[m]\vec{a}=\vec{p}+3\vec{q}[/m]
x=3
[m]\vec{b}=3\vec{p}-\vec{q}[/m]
S_(параллелограмма)=[m]|(\vec{p}+3\vec{q}) × (3\vec{p}-\vec{q}) |[/m]
Находим векторное произведение векторов:
[m](\vec{p}+3\vec{q}) × (3\vec{p}-\vec{q})=[/m]
раскрываем скобки по законам векторной алгебры ( как в алгебре)
[m]=\vec{p} ×3\cdot \vec{p}+3\vec{q} ×3 \vec{p}+\vec{p} ×(-\vec{q})+3\vec{q} ×(-\vec{q})=[/m]
применяем свойства векторного произведения ( см. скрин) и с учетом условия задачи
[m] |\vec{p}|=|2\cdot 3-30|; |\vec{q}|=1[/m]
[m] ∠ (\vec{p},\vec{q})=\frac{π}{6} [/m] ⇒
[m]sin\frac{π}{6}=\frac{1}{2}[/m]
получаем:
[m]=3\underbrace {\vec{p} × \vec{p}}_{0} +9 \vec{q} × \vec{p}- \vec{p} × \vec{q}-3\underbrace {\vec{q} × \vec{q}}_{0}
=-10\vec{p} × \vec{q}[/m]
S_(параллелограмма)=[m]|-10\vec{p} × \vec{q}|=10|\vec{p} × \vec{q}|=10|\vec{p}| * |\vec{q}|*sin ∠ (\vec{p},\vec{q})=
=10\cdot |2\cdot 3-30|\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=120[/m]
Диагонали параллелограмма, построенного на векторах а векторах [m]\vec{a}[/m] и [m]\vec{b}[/m],
это векторы на векторах [m]\vec{a}+\vec{b}[/m] ина векторах [m]\vec{a}-\vec{b}[/m]
[m]\vec{a}+\vec{b}=(\vec{p}+3\vec{q})+(3\vec{p}-\vec{q})=4\vec{p}+2\vec{q}[/m]
[m]\vec{a}-\vec{b}=(\vec{p}+3\vec{q})-(3\vec{p}-\vec{q})=-2\vec{p}+4\vec{q}[/m]
По свойству скалярного произведения
[m]|\vec{a}+\vec{b}|^2=(\vec{a}+\vec{b})^2[/m]
[m]|\vec{a}-\vec{b}|^2=(\vec{a}-\vec{b})^2[/m]
и
[m]\vec{p}\cdot \vec{p}=|\vec{p}|\cdot |\vec{p}|\cdot cos0 =|2\cdot 3-30|\cdot |2\cdot 3-30|\cdot 1=676[/m]
[m]\vec{q}\cdot \vec{q}=|\vec{q}|\cdot |\vec{q}|\cdot cos0=1\cdot 1\cdot 1=1[/m]
[m]\vec{p}\cdot \vec{q}=|\vec{p}|\cdot |\vec{q}|\cdot cos\frac{π}{6} =|2\cdot 3-30|\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=13\cdot\sqrt{3}[/m]
так как
[m] |\vec{p}|=|2\cdot 3-30|; |\vec{q}|=1[/m]
[m] ∠ (\vec{p},\vec{q})=\frac{π}{6} [/m] ⇒
[m]cos\frac{π}{6} =\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
Находим скалярные квадраты
[m](\vec{a}+\vec{b})^2=(4\vec{p}+2\vec{q})^2=16\vec{p}\cdot \vec{p}+16\cdot \vec{p}\cdot \vec{q}+4\vec{q}\cdot \vec{q}=16\cdot 676+16\cdot 13\sqrt{3}+4\cdot 1=10820+208\sqrt{3} [/m]
⇒ длина диагонали : [m]d_{1}=\sqrt{10820+208\sqrt{3}}[/m]
[m](\vec{a}-\vec{b})^2=(-2\vec{p}+4\vec{q}[)^2=4\vec{p}\cdot \vec{p}-16\cdot \vec{p}\cdot \vec{q}+16\vec{q}\cdot \vec{q}=4\cdot 676-16\cdot 13\sqrt{3}+16\cdot 1=2720-208\sqrt{3}[/m]
⇒ длина диагонали : [m]d_{2}=\sqrt{2720-208\sqrt{3}}[/m]
