Задача 75270 11. Найдите площадь фигуры, ограниченной...
Условие
Решение
Касательная к ней в точке x = -1; y = (-1)^3 - 3(-1) = 2
f(x) = y(-1) + y'(-1)*(x - (-1))
y'(x) = 3x^2 - 3; y'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 3*1 - 3 = 0
Касательная:
f(x) = 2 + 0(x + 1) = 2
Точки пересечения функции и касательной:
x^3 - 3x = 2
x^3 - 3x - 2 = 0
(x + 1)(x^2 - x - 2) = 0
(x + 1)(x + 1)(x - 2) = 0
x1 = -1; x2 = 2
Интеграл:
[m]\int_{-1}^{2} (x^3 - 3x)\ dx = (\frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^2}{2})\ |_{-1}^{2} =[/m]
[m] = \frac{2^4}{4} - \frac{3 \cdot 2^2}{2}- (\frac{(-1)^4}{4} - \frac{3 \cdot (-1)^2}{2}) = [/m]
[m] =4 - 6 - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = -2 - \frac{1}{4} + \frac{6}{4} [/m]
[m] = -2 + \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}[/m]
Площадь равна:
[m]S = |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}[/m]