Задача 75200 Линия Г задана уравнением в ПДСК в...
Условие
a) Вид уравнения после поворота осей координат в промежуточных координатах (x', y').
b) Вид уравнения после сдвига осей координат в конечных координатах (x'', y'').
c) Формулы результтирующего преобразования координат от (x, y) до (x'', y'') (поворота и сдвига вместе).
d) Чертёж кривой, с отметками на нем системами координат после поворота, сдвига.
x^2 - 6xy + y^2 - 4x - 4y +12 = 0
Решение
Главная цель - избавиться от члена, содержащего xy.
Для этого используем замену:
{ x = x'cos a - y'sin a
{ y = x'sin a + y'cos a
Подставляем:
(x'cos a - y'sin a)^2 - 6(x'cos a - y'sin a)(x'sin a + y'cos a) +
+(x'sin a+y'cos a)^2-4(x'cos a-y'sin a)-4(x'sin a+y'cos a)+12=0
Раскрываем скобки:
x'^2*cos^2 a - 2x'y'sin a*cos a + y'^2*sin^2 a -
- 6(x'^2sin a*cos a - x'y'sin^2 a + x'y'cos^2 a - y'^2sin a*cos a) +
+ x'^2*sin^2 a + 2x'y'*sin a*cos a + y'^2*cos^2 a -
- 4x'*cos a + 4y'*sin a - 4x'*sin a - 4y'*cos a + 12 = 0
Приводим подобные, объединяя x', y' и x'y':
x'^2*(cos^2 a - 6sin a*cos a + sin^2 a) +
+ x'y'*(-2sin a*cos a + 6sin^2 a - 6cos^2 a + 2sin a*cos a) +
+ y'^2*(sin^2 a + 6sin a*cos a + cos^2 a) -
- x'(4cos a + 4sin a) + y'*(4sin a - 4cos a) + 12 = 0
Так как cos^2 a + sin^2 a = 1, можно упростить:
x'^2*(1 - 6sin a*cos a) + x'y'*(6sin^2 a - 6cos^2 a)
+ y'^2*(1 + 6sin a*cos a) -
- x'(4cos a + 4sin a) + y'*(4sin a - 4cos a) + 12 = 0 ___ [b](1)[/b]
Цифрой [b](1)[/b] я отметил уравнение, чтобы его не забыть.
Теперь главный шаг! Скобку при x'y' приравниваем к 0:
6sin^2 a - 6cos^2 a = 0
6(sin a - cos a)(sin a + cos a) = 0
1) sin a = cos a ⇒ tg a = 1 ⇒ a1 = π/4
2) sin a = -cos a ⇒ tg a = -1 ⇒ a1 = -π/4
Здесь нужно взять положительный корень, я не могу объяснить, почему, просто поверьте:
a = π/4;
cos a = sqrt(2)/2; sin a = sqrt(2)/2
sin a*cos a = sqrt(2)/2*sqrt(2)/2 = 2/4 = 1/2
Подставляем синусы и косинусы в уравнение [b](1)[/b]:
x'^2*(1 - 6*1/2) + x'y'*0 + y'^2*(1 + 6*1/2) -
- x'(4*sqrt(2)/2 + 4*sqrt(2)/2) + y'*(4*sqrt(2)/2 - 4*sqrt(2)/2) + 12 = 0
Приводим подобные:
x'^2*(-2) + y'^2*4 - x'*4sqrt(2) + y'*0 + 12 = 0
Делим всё уравнение на -2 и упрощаем:
x'^2 - 2y'^2 + 2sqrt(2)*x' - 6 = 0
Выделяем полные квадраты:
(x'^2 + 2*x'*sqrt(2) + (sqrt(2))^2) - (sqrt(2))^2 - 2y'^2 - 6 = 0
(x' + sqrt(2))^2 - 2 - 2y'^2 - 6 = 0
(x' + sqrt(2))^2 - 2y'^2 = 8
Делим всё уравнение на 8, чтобы справа осталось 1:
(x' + sqrt(2))^2/8 - y'^2/4 = 1
Это каноническое уравнение гиперболы.
Ее центр - точка (-sqrt(2); 0), полуоси a = sqrt(8); b = 2
Для сдвига сделаем вторую замену:
x'' = x' + sqrt(2); y'' = y'
Каноническое уравнение после сдвига:
x''^2/8 - y''^2/4 = 1
Асимптоты - две прямые:
y'' = b/a*x'' = 2/sqrt(8)*x'' = sqrt(2)/2*x''
y'' = -b/a*x'' = -2/sqrt(8)*x'' = -sqrt(2)/2*x''
График прилагается. На графике оси x и y - черные,
x', x'', y' и y'' - синие, асимптоты - зелёные.