Задача 75168 Члены Клуба киссеров при встрече...

Юрий_222543569

28 декабря 2023 г. в 09:21

Члены Клуба киссеров при встрече целуются одним поцелуем (в губки) или двумя (в щечку или в носик). Однажды встретились 10 киссеров. Мальчики поцеловались друг с другом в носик, девочки — в губки. А мальчики с девочками поцеловались в щечку. Сколько было девочек, если всего поцелуев было 84?


Прошу, решите уравнением

Удачник66

28 декабря 2023 г. в 11:47

★

Пусть мальчиков было x, а девочек y.
Поцелуев в губки было по 1 на каждую пару участников.
Поцелуев в носик и в щечку было по 2 на каждую пару участников.

Каждая девочка целует всех остальных девочек по 1 разу.
Всего y(y – 1) поцелуев.
Но, когда, например, Маша целует Таню, то одновременно и Таня целует Машу. Поэтому в итоге получится y(y – 1)/2 поцелуев.
Каждый мальчик целует всех остальных мальчиков по 2 раза.
Тут ситуация такая же, но поцелуев в 2 раза больше. Всего x(x – 1).
Каждый мальчик целует каждую девочку по 2 раза.
То, что при этом и девочка целует мальчика, можно не считать.
Всего получается 2x·y поцелуев.
И всего у нас получилось 84 поцелуя. Составляем уравнение:
y(y – 1)/2 + x(x – 1) + 2xy = 84
Умножим всё уравнение на 2 и перейдём к целым числам.
y(y – 1) + 2x(x – 1) + 4xy = 168
y² – y + 2x² – 2x + 4xy = 168
Нам нужно узнать количество девочек y, поэтому напишем так:
y² + y(4x – 1) + (2x² – 2x – 168) = 0
Получили квадратное уравнение относительно y.
Нам его надо решить в натуральных числах.
D = (4x – 1)² – 4(2x² – 2x – 168)
D = 16x² – 8x + 1 – 8x² + 8x + 672
D = 8x² + 673 > 0 при любом x,
поэтому уравнение всегда имеет два решения.
Будем перебирать натуральные x, пока не получим натуральный y.
Подставлять будем в уравнение:
y² + y(4x – 1) + (2x² – 2x – 168) = 0
x = 0; y² – y – 168 = 0; y1, y2 – нецелые.
x = 1; y² + 3y – 168 = 0; y1, y2 – нецелые.
x = 2; y² + 7y – 164 = 0; y1, y2 – нецелые.
x = 3; y² + 11y – 156 = 0; y1, y2 – нецелые.
x = 4; y² + 15y – 144 = 0; y1, y2 – нецелые.
x = 5; y² + 19y – 128 = 0; y1, y2 – нецелые.
x = 6; y² + 23y – 108 = 0; y1 = –27 < 0, y2 = 4 – подходит.
Но на всякий случай проверим остальные варианты.
x = 7; y² + 27y – 84 = 0; y1, y2 – нецелые.
x = 8; y² + 31y – 56 = 0; y1, y2 – нецелые.
x = 9; y² + 35y – 24 = 0; y1, y2 – нецелые.
x = 10; y² + 39y + 12 = 0; y1, y2 < 0
Проверять дальше смысла нет.
При любых x > 10 оба корня y1, y2 тоже будут меньше 0.

Ответ: 4 девочки и 6 мальчиков.