Задача 75063 ...
Условие
Решение
1) Необходимое условие экстремума:
Все производные 1 порядка должны быть равны 0.
{ dz/dx = 3x^2 - 6y = 0
{ dz/dy = 24y^2 - 6x = 0
Делим 1 уравнение на 3, а 2 уравнение на 6:
{ x^2 - 2y = 0
{ 4y^2 - x = 0
Подставляем 2 уравнение в 1 уравнение:
{ x = 4y^2
{ 16y^4 - 2y = 0
2y(8y^3 - 1) = 0
y1 = 0; x1 = 0; z1(0; 0) = 1
8y^3 - 1 = 0
y^3 = 1/8
y2 = 1/2; x2 = 4y^2 = 4*1/4 = 1;
z2(1; 1/2) = 1 + 8/8 - 6*1*1/2 + 1 = 1 + 1 - 3 + 1 = 0
Получили две стационарные точки:
[b]A1(0; 0; 1); A2(1; 1/2; 0)[/b]
2) Достаточное условие экстремума.
Находим 2 производную:
A = d^2z/dx^2 = (3x^2 - 6y)/dx = 6x
B = d^2z/(dxdy) = (3x^2 - 6y)/dy = -6
C = d^2z/dy^2 = (24y^2 - 6x)/dy = 48y
D = AC - B^2 = 6x*48y - 6^2 = 288xy - 36
Проверяем 2 производную в стационарных точках.
Достаточное условие экстремума в стационарной точке:
Если D > 0 и A > 0 - это точка минимума.
Если D > 0 и A < 0 - это точка максимума.
Если D < 0 - это не экстремум, а "седловая точка"
A1: x = 0; y = 0
D = 288xy - 36 = 288*0*0 - 36 = -36 < 0 - это "седловая точка"
A2: x = 1; y = 1/2
D = 288xy - 36 = 288*1*1/2 - 36 = 144 - 36 > 0 - это экстремум.
A = 6x = 6*1 = 6 > 0 - это точка минимума.
Ответ: A2(1; 1/2; 0) - точка минимума.