Задача 7493 В прямоугольном параллелепипеде...

slava191

07.03.2016

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=35, AD=12, CC1=21.

а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

Julia_Trusova

07.03.2016

★

а)Построим АН ⊥ BD в △ABD. Проведем прямую А1Н. Т.к. BD ⊥ АН , по теореме о трех перпендикулярах, А1Н ⊥ BD (АА1 - перпендикуляр, А1Н - наклонная, АН - проекция).Ч.т.д.
б)∠А1НА - линейный угол двугранного угла между (АВС) и (А1BD), т.е. искомый угол.
Из △АBD по теореме Пифагора:
BD=sqrt(35^2+12^2)=sqrt(1225+144)=sqrt(1369)=37
Пусть ВН=х, тогда НD=37-x. АН=y.
Из △АНD по теореме Пифагора:
y^2+(37-x)^2=12^2
Из △АНВ по теореме Пифагора:
y^2+x^2=35^2
Составим систему из последних двух уравнений:
y^2+(37-x)^2=12^2; y^2=12^2-(37-x)^2
y^2+x^2=35^2; 12^2-(37-x)^2+x^2=35^2
Решим уравнение:
12^2-(37-x)^2+x^2=35^2
144-1369+74*x-x^2+x^2-1225=0
74*x-2450=0
x=2450/74
Из уравнения y^2+x^2=35^2 найдем у :
y=sqrt(35^2-x^2)
y=sqrt(35^2-2450/74)=sqrt((35-2450/74)(35+2450/74))=sqrt((35(74-70))/74*(35*(74+70))/74)=35/74*sqrt(4*144)=35/74*2*12=420/37
Значит,АН=420/37
Из △AА1Н :
tg∠А1НА = 21/(420/37)=1,85
∠А1НА = arctg(1,85)