Задача 7493 В прямоугольном параллелепипеде...

slava191

3 июля 2016 г. в 00:00

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=35, AD=12, CC1=21.

а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

Julia_Trusova

3 июля 2016 г. в 00:00

★

а)Построим АН ⊥ BD в △ABD. Проведем прямую А1Н. Т.к. BD ⊥ АН , по теореме о трех перпендикулярах, А1Н ⊥ BD (АА1 – перпендикуляр, А1Н – наклонная, АН – проекция).Ч.т.д.
б)∠А1НА – линейный угол двугранного угла между (АВС) и (А1BD), т.е. искомый угол.
Из △АBD по теореме Пифагора:
BD=√35²+12²=√1225+144=√1369=37
Пусть ВН=х, тогда НD=37–x. АН=y.
Из △АНD по теореме Пифагора:
y²+(37–x)²=12²
Из △АНВ по теореме Пифагора:
y²+x²=35²
Составим систему из последних двух уравнений:
y²+(37–x)²=12²; y²=12²–(37–x)²
y²+x²=35²; 12²–(37–x)²+x²=35²
Решим уравнение:
12²–(37–x)²+x²=35²
144–1369+74·x–x²+x²–1225=0
74·x–2450=0
x=2450/74
Из уравнения y²+x²=35² найдем у :
y=√35²–x²
y=√35²–2450/74=√(35–2450/74)(35+2450/74)=√(35(74–70))/74·(35·(74+70))/74=35/74·√4·144=35/74·2·12=420/37
Значит,АН=420/37
Из △AА1Н :
tg∠А1НА = 21/(420/37)=1,85
∠А1НА = arctg(1,85)