Задача 74873 Даны уравнения двух сторон...

Антон Василевский

18 декабря 2023 г. в 06:38

Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8x + 3y – 1 = 0, 2x + y – 1 = 0 и уравнение одной из его диагоналей 3x + 2y – 3 = 0. Определить координаты вершин этого параллелограмма.

exponenta

18 декабря 2023 г. в 06:59

★

Находим точку пересечения сторон:
{8x+3y+1=0
{2x+y–1=0
Умножаем второе на 3
{8x+3y+1=0
{6x+3y–3=0
Вычитаем из первого уравнения второе
2х+4=0
x=–2
y=1–2x=1–2·(–2)=5

A(–2;5)

Находим точку пересечения стороны и диагонали
{8x+3y+1=0
{3x+2y+3=0

B(1;–3)

{2x+y–1=0
{3x+2y+3=0

D(5;–9)

Осталось найти координаты точки C

1–ый способ

Составить уравнение прямой ВС ( параллельна АD и проходит через точку B)

2x+y+C₁=0

2·1+(–3)+C₁=0

C₁=1

2x+y+1=0 – уравнение прямой ВС

Составить уравнение прямой DC (параллельна АВ и проходит через точку D)

8x+3y+C₂=0

8·5+3·(–9)+C₂=0

C₂=–13

8x+3y–13=0 – уравнение прямой DC


Найти точку пересечения прямых ВС и DC
{2x+y+1=0
{8x+3y–13=0

{6x+3y+3=0
{8x+3y–13=0

Вычитаем:
–2х+16=0
x=8

y=–17

С(8;–17)


2 способ


Диагонали АС и BD в точке пересечения делятся пополам

O( (1+5)/2; (–3;–9)/2)
O(3;–6)

C(2x_O–x_A; 2y_O–y_A)

C(2·3–(–2); 2·(–6)–5)

C(8;–17)