Задача 74799 установить взаимное расположение прямой...

657c9ced42718a6f375fdfa2

15 декабря 2023 г. в 06:38

установить взаимное расположение прямой L : x + 28y – 2z+17=0; 5y–z+1=0 и плоскости P: x–z+1=0

626fab9a354ab65fb2f43abb

16 декабря 2023 г. в 10:02

★

Точка пересечения прямой и плоскости – это в данном случае точка пересечения трёх плоскостей.
Чтобы её найти, нужно решить систему:
{ x + 28y – 2z + 17 = 0
{ 5y – z + 1 = 0
{ x – z + 1 = 0
Если эта система имеет одно решение, то прямая и плоскость пересекаются.
Если эта система не имеет решений, то прямая и плоскость параллельны.
Если эта система имеет бесконечное множество решений, то прямая лежит в плоскости.
Во 2 и 3 уравнениях выразим x и y через z:
{ x + 28y – 2z + 17 = 0
{ y = (z – 1)/5
{ x = z – 1
Подставляем их в 1 уравнение:
z – 1 + 28(z – 1)/5 – 2z + 17 = 0
z – 1 + 5,6z – 5,6 – 2z + 17 = 0
4,6z = –10,4
z = –10,4/4,6 = –104/46 = –52/23
x = z – 1 = –52/23 – 1 = –75/23
y = (z – 1)/5 = –75/23 : 5 = –15/23

Ответ: прямая и плоскость пересекаются в точке
A(–75/23; –15/23; –52/23)