Задача 74724 ...

Yuuichirou_654601360

12 декабря 2023 г. в 05:01

Р–ть кв–ое брие. нер–во:
А) 2sin²x–sinx–3≤0
B) √2cos²3x+7cos3x>0

Удачник66

12 декабря 2023 г. в 05:32

★

А) 2sin² x – sin x – 3 ≤ 0
Замена sin x = y
2y² – y – 3 ≤ 0
(y + 1)(2y – 3) ≤ 0
y ∈ [–1; 3/2]
sin x ∈ [–1; 3/2]
Но область значений функции синуса:
sin x ∈ [–1; 1]
Так как 3/2 > 1, то область значений синуса целиком входит в решение.
Это значит, что это неравенство выполнено при любом x.
Ответ: x ∈ (–oo; +oo)

Б) √2cos² 3x + 7cos 3x > 0
Замена cos 3x = y
√2y² + 7y > 0
y(√2y + 7) > 0
y ∈ (–oo; –7/√2) U (0; +oo)
cos 3x ∈ (–oo; –7√2/2) U (0; +oo)
Но область значений функции косинуса:
cos 3x ∈ [–1; 1]
Так как –7√2/2 < –1, то промежуток (–oo; –7√2/2)
не входит в решение. Значит, решение:
cos 3x ∈ (0; 1]
3x ∈ (–π/2 + 2π·k; π/2 + 2π·k); k ∈ Z
Ответ: x ∈ (–π/6 + 2π/3·k; π/6 + 2π/3·k); k ∈ Z