Задача 74686 Решить краевую задачу...

Eller

11 декабря 2023 г. в 10:25

Решить краевую задачу

exponenta

11 декабря 2023 г. в 01:38

★

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение неоднородного уравнения у_{общее неод}=y_{общее одн.}+y_{част неод}


Решаем однородное :

y'' + y =0

Составляем характеристическое уравнение:

k²+1=0

k₂=–i; k₂=i – корни действительные различные


Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_{общее одн.}=С₁·cosx+C₂·sinx


Для нахождения частного решения неоднородного уравнения

применяем метод неопределенных коэффициентов, так как правая часть уравнения имеет специальный вид.

Частное решение неоднородного уравнение находим в виде:

y_{част неод}=Ax+B

Находим производную первого, второго порядка
y`_{част неод}=A

y``_{част неод}=0

подставляем в данное уравнение:


0+Ax+B=2X
и находим коэффициенты:
A=2
B=0


у_{общее неод}=y_{общее одн.}+y_{част неод}

у=С₁·cosx+C₂·sinx+2х – общее решение



y(0)=0
y`(1)=–1

Такие условия не бывают

y(x_o)=m
y`(x_o)=n

Точка х_o и в первой строке и во второй одна и та же !



у(0)=С₁·cos0+C₂·sin0 + 2·0
0=С₁ +0
С₁=0

у`=С<sub>1</sub>·(cosx)`+C₂·(sinx)`+(2х)`
у`=С<sub>1</sub>·(–sinx)+C<sub>2</sub>·(cosx)+(2)
y`(0)=0·(–sin0)+C₂·cos0+2

–1=0+C₂+2

C₂=–3



у=–3·sinx+2х – решение, удовлетворяющее начальным условиям