Задача 74666 Найти точки пересечения поверхности и...

BalonGaza

10 декабря 2023 г. в 05:16

Найти точки пересечения поверхности и прямой.
23 задача

exponenta

10 декабря 2023 г. в 07:42

★

Решаем систему:

$\left\{\begin {matrix}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}-\frac{z^2}{4}=1\\6x+4y-3z-6=0\\2x-y-3z-8=0\end {matrix}\right.$ ⇒ $\left\{\begin {matrix}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1+\frac{z^2}{4}=1\\3z=6x+4y-6\\3z=2x-y-8\end {matrix}\right.$⇒ $\left\{\begin {matrix}9x^2+16y^2=144+36z^2\\3z=6x+4y-6\\6x+4y-6=2x-y-8\end {matrix}\right.$

$\left\{\begin {matrix}9x^2+16y^2=144+36z^2\\3z=6x+4y-6\\x=\frac{-5y-2}{4}\end {matrix}\right.$⇒$\left\{\begin {matrix}9x^2+16y^2=144+36z^2\\3z=6\cdot \frac{-5y-2}{4}+4y-6\\x=\frac{-5y-2}{4}\end {matrix}\right.$⇒$\left\{\begin {matrix}9x^2+16y^2=144+36z^2\\z= \frac{-30y-12+16y-24}{12}\\x=\frac{-5y-2}{4}\end {matrix}\right.$$\left\{\begin {matrix}9x^2+16y^2=144+36z^2\\z= \frac{-7y}{6}-3\\x=\frac{-5y-2}{4}\end {matrix}\right.$

и подставляем в первое уравнение:

$9(\frac{-5y-2}{4})^2+16y^2=144+36(\frac{-7y}{6}-3)^2$

$9(\frac{5y+2}{4})^2-36(\frac{+7y}{6}+3)^2=144-16 y^2$


Применяем формулу разности квадратов:

$(3(\frac{5y+2}{4})-6(\frac{+7y}{6}+3))(3(\frac{5y+2}{4})+6(\frac{+7y}{6}+3))=144-16 y^2$

$(\frac{15y+6}{4}-7y-18)(\frac{15y+6}{4}+7y+18)=144-16 y^2$

$\frac{15y+6-28y-72}{4}\cdot \frac{15y+6+28y+72}{4}=144-16 y^2$

$(13y+66)(43y+78)=256y^2-144\cdot 16$

$559y^2+2838y+1014y+5148=156y^2-2304$

$303y^2+3852y+7452=0$

$101y^2+1284y+2484=0$

D/4=(642)²–101·2484=161280=16²·3²·70

y₁=(–642–48√70)/101 или y₂=(–642+48√70)/101


Находим

x₁ и x₂

z₁ и z₂




Аналитический способ :



Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей с нормальными векторами

n₁=(6;4;–3)
n₂=(2;–1;–3)

Составить параметрическое уравнение прямой:

s=n₁ × n₂=$\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\6&4&-3\\2&-1&-3\end {vmatrix}=-12\vec{i}-6\vec{j}-6\vec{k}-8\vec{k}-3\vec{i}+18\vec{j}=-15\vec{i}+12\vec{j}-14\vec{k}$

s=(–15;12;–14)

И найдем точку M_o(x_o;y_o;z_o), принадлежащую прямой

Пусть y _o=0

Тогда система принимает вид:

$\left\{\begin {matrix}6x_{o}-3z_{o}-6=0\\2x_{o}-3z_{o}-8=0\end {matrix}\right.$



$\left\{\begin {matrix}3z_{o}=6x_{o}-6\\3z_{o}=2x_{o}-8\end {matrix}\right.$

приравниваем правые части:

6x_o–6=2_o–8

x_o=–1/2

z_o=–3

Уравнение прямой:

$\frac{x+\frac{1}{2}}{-15}=\frac{y-0}{12}=\frac{z+3}{-14}$

Параметризуем:

$\frac{x+\frac{1}{2}}{-15}=\frac{y-0}{12}=\frac{z+3}{-14}=t$ ⇒

$x+\frac{1}{2}=-15t$ ⇒ $x=-15t-\frac{1}{2}$

$y=12t$ ⇒ $y=12t$

$z+3=-14t$ ⇒ $z=-14t-3$


Подставляем в уравнение поверхности:

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}-\frac{z^2}{4}=1$

$\frac{(-15t-\frac{1}{2})^2}{16}+\frac{(12t)^2}{9}-\frac{(-14t-3)^2}{4}=1$

Получим квадратное уравнение относительно t


$17t^2-321t+\frac{207}{4}=0$

$D=321^2-4\cdot 17\cdot \frac{207}{4}=103 041 -3519=99522$

Находим

t ( может быть не более двух значений)


и затем находим координаты точки

(подставляем найденные значения ):

t₁=
$x=-15t-\frac{1}{2}$

$y=12t$

$z=-14t-3$

t₂=

$x=-15t-\frac{1}{2}$

$y=12t$

$z=-14t-3$