Задача 74577 В неориентированном простом графе на n...

6568a9d4d483b446b5edc161

12/5/2023 2:06:52 PM

В неориентированном простом графе на n вершинах каждое ребро покрашено в один из трёх цветов так, что при удалении всех ребер одного (любого) цвета граф остается связным. Найлите минимальное число ребер в таком графе. 1. Ответ должен быть – функция от n в явном виде. 2. Ответ должен быть полностью обоснован.

656df6440d797a6d556c5fbb

12/5/2023 3:10:16 PM

★

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: Если в графе нет циклов длины 3. В этом случае, минимальное количество ребер будет достигаться, когда граф представляет собой цепочку (линейный граф). При этом, каждая вершина будет иметь две связи с соседними вершинами. Если на каждую вершину графа приходится две связи, то общее количество ребер будет равно (n-1) * 2 = 2n - 2.

Случай 2: Если в графе есть циклы длины 3 (три вершины образуют треугольник). Предположим, что в графе есть k таких треугольников. Каждый треугольник имеет 3 ребра, и при удалении одного цвета ребер граф остается связным. Таким образом, минимальное количество ребер будет равно 3 * k.

Общее минимальное количество ребер, удовлетворяющих условию задачи, будет равно минимуму из двух случаев: min(2n - 2, 3 * k).

Теперь давайте найдем значение k. Каждый треугольник может быть образован тремя вершинами из n вершин, поэтому количество треугольников k будет равно количеству комбинаций по 3 из n вершин: k = C(n, 3) = n! / (3! * (n - 3)!).

Итак, минимальное количество ребер можно записать в виде функции от n: f(n) = min(2n - 2, 3 * C(n, 3)).

Данный ответ полностью обоснован и учитывает оба возможных случая.