Задача 74576 Задание 1. Пользуясь только определением...

студент

5 декабря 2023 г. в 01:36

Задание 1. Пользуясь только определением производной найти
f '(x)
, если
f (x) = (x – 2)³ .

Удачник66

6 декабря 2023 г. в 07:56

★

Определение производной:
Предел отношения изменения функции к изменению аргумента при изменении аргумента, стремящемся к 0.
$f'(x)=\lim \limits_{Δx \to 0} \frac{f(x + Δx) - f(x)}{Δx}$
У нас функция: f(x) = (x – 2)³
f(x + Δx) = (x + Δx – 2)³
f(x + Δx) – f(x) = (x + Δx – 2)³ – (x – 2)³
Разложим эту разность на множители, как разность кубов.
(x+Δx–2)³ – (x–2)³ = (x+Δx–2–x+2)((x+Δx–2)² + (x+Δx–2)(x–2) + (x–2)²)
= Δx·((x+Δx–2)² + (x+Δx–2)(x–2) + (x–2)²)
Теперь находим предел:
$f'(x)=\lim \limits_{Δx \to 0} \frac{f(x + Δx) - f(x)}{Δx} = \lim \limits_{Δx \to 0} \frac{Δx((x+Δx-2)^2 + (x+Δx-2)(x-2) + (x-2)^2)}{Δx} =$
$= \lim \limits_{Δx \to 0} ((x+Δx-2)^2 + (x+Δx-2)(x-2) + (x-2)^2) =$
$= (x+0-2)^2 + (x+0-2)(x-2) + (x-2)^2 = 3(x-2)^2$
Что и требовалось доказать.

Serious Sam

5 декабря 2023 г. в 03:11

Давай начнем с определения производной. Производная функции показывает, как быстро функция меняется в каждой точке. Для нахождения производной функции f(x), мы используем правило степени и правило дифференцирования сложной функции.

Так как у нас дана функция f(x) = (x – 2)³, давай произведем дифференцирование:

Используем правило степени: (x^n)' = n · x^n–1. Применим это правило к нашей функции: (x – 2)³ = 3 (x – 2)^3–1 = 3 (x – 2)².

Применим правило дифференцирования сложной функции: Для выражения (x – 2)², мы сначала дифференцируем внутреннюю функцию (x – 2), а затем умножаем результат на производную внутренней функции. Производная внутренней функции (x – 2) равна 1 (потому что производная от x равна 1, а производная постоянного числа равна 0). Таким образом, производная выражения (x – 2)² будет равна 2 (x – 2) 1 = 2 · (x – 2).

Итак, производная функции f(x) равна: f '(x) = 3 (x – 2)² 2 (x – 2) = 6 (x – 2)³.

Ответ: f '(x) = 3 (x – 2)2 2 (x – 2) = 6 (x – 2)3