Задача 74239 В тетраэдре с вершинами А(2; -1;2);...

655de9a2647d7111c0b9dc2f

11/22/2023 11:45:31 AM

В тетраэдре с вершинами А(2; -1;2); В(1;2;-1);С(3;2;1); D(2;2;2) длина высоты, опущенной из вершины D равна

5f282cfba9074b3a3bc0f013

11/22/2023 2:14:58 PM

★

Дано: координаты вершин тетраэдра: A(2; -1;2), В(1;2;-1), С(3;2;1), D(2;2;2).

Решение:

Высота опущенная из вершины D, пересекает плоскость ABC. Уравнение плоскости ABC определено тремя точками и находится по формуле:

A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0.

Для нахождения коэффициентов A1, B1, C1 нам необходимо найти векторное произведение векторов AB и AC, координаты которых мы можем найти путем вычитания координат:

AB = (1-2; 2-(-1); -1-2) = (-1; 3; -3),
AC = (3-2; 2-(-1); 1-2) = (1; 3; -1).

(AB x AC) = (3*(-1) - (-3)*3; -1*(-1) - (-3)*1; -1*3 - 3*1) = (-6; 2; -6).

Тогда уравнение плоскости ABC мы получаем заменяя координаты точки A в уравнении плоскости:

-6*x + 2*y - 6*z + D1 = 0.
Учитывая, что x = 2, y = -1, z = 2, мы получим:
D1 = -6*2 + 2*(-1) - 6*2 = -24.

Уравнение плоскости ABC имеет вид:
-6*x + 2*y - 6*z -24 = 0.

Высота из точки D, принадлежащей этой плоскости, будет перпендикулярна ей. Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:

d = |A1*xd + B1*yd + C1*zd + D1| / sqrt(A1^2 + B1^2 + C1^2).

Учитывая, что координаты вершины D: xd = 2, yd = 2, zd = 2 получим:

d = |-6*2 + 2*2 - 6*2 - 24| / sqrt((-6)^2 + 2^2 + (-6)^2) =
= |-28| / sqrt(72) = 28/sqrt(72).

Упростим выражение под знаменателем, извлечем 36 получим:

d = 28 / (6 * sqrt(2)) = 14 / (3 * sqrt(2)) = 14*sqrt(2) / 6 = 7*sqrt(2) / 3.

Ответ: высота тетраэдра равна 7*sqrt(2)/3.