Задача 74195 найти площадь фигуры ограниченной...

Лиса1984

21 ноября 2023 г. в 08:51

найти площадь фигуры ограниченной линиями y=1–x² y=–x–1

Удачник66

21 ноября 2023 г. в 09:34

★

y = 1 – x²; y = –x – 1
График прилагается. На графике видно, что границы интегрирования:
x1 = –1; x2 = 2, но докажем это. Приравняем функции:
1 – x² = –x – 1
Переносим всё направо:
0 = –x – 1 – 1 + x²
Запишем в более привычном виде:
x² – x – 2 = 0
(x – 2)(x + 1) = 0
x1 = –1; x2 = 2
Парабола лежит выше прямой, поэтому интеграл находим так:
$S= \int \limits_{-1}^2 (1 - x^2 - (-x - 1)) dx = \int \limits_{-1}^2 (- x^2 + x + 2) dx =$
$= -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x |_{-1}^2 = -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 - (-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1)) =$
$= -\frac{8}{3} + 2 + 4 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2} = 5- \frac{1}{2} = 4,5$