Задача 73983 ...

Dzura

9 ноября 2023 г. в 08:58

Вычислить интеграл с точностью 0,0001.

0,5
∫ ln(5 + x⁶) dx
0

exponenta

9 ноября 2023 г. в 10:37

★

$ln(5+x^6)=ln(5(1+\frac{x^6}{5}))=ln5+ln(1+\frac{x^6}{5})=ln5+\frac{x^6}{5}-\frac{(\frac{x^6}{5})^2}{2!}+\frac{(\frac{x^6}{5})^3}{3!}-...=ln5+\frac{x^6}{5}-\frac{x^{12}}{50}+\frac{x^{18}}{750}-...$


$∫^{0,5} _{0}ln(5+x^6)dx=∫^{0,5} _{0}(ln5+\frac{x^6}{5}-\frac{x^{12}}{50}+\frac{x^{18}}{750}-...)dx=((ln5)\cdot x+\frac{x^7}{35}-\frac{x^{13}}{650}+...)|^{0,5} _{0}=((ln5)\cdot 0,5+\frac{0,5^7}{35}-\frac{0,5^{13}}{650}+...)$

Так как получили числовой знакочередующийся ряд, то погрешность при замене ряда суммой нескольких слагаемых не превышает модуля первого отброшенного слагаемого

$|\frac{0,5^{13}}{650}| =\frac{5}{13}\cdot 10^{-14}< 0, 0001$

достаточно взять два слагаемых

$∫^{0,5} _{0}ln(5+x^6)dx=(ln5)\cdot 0,5+\frac{0,5^7}{35}=$ считайте