Задача 73974 y"–5y'+6y=0...

кепивк

8 ноября 2023 г. в 10:09

y"–5y'+6y=0

admin

9 ноября 2023 г. в 07:37

★

Дано:

Дифференциальное уравнение второго порядка: y'' – 5y' + 6y = 0

Решение:

Сначала найдем корни характеристического уравнения, которое получается из дифференциального уравнения, заменив производные на множители:

m² – 5m + 6 = 0.

Формула для решения квадратного уравнения выглядит так:

m = (−b ± √b² − 4ac) / 2a,

где a = 1 (коэффициент при m²), b = –5 (коэффициент при m), c = 6 (свободный член).

Подставим коэффициенты в формулу:

m1,2 = (5 ± √(–5)² – 4·1·6) / (2·1),
m1,2 = (5 ± √25 – 24) / 2,
m1,2 = (5 ± √1) / 2.

Получаем два корня: m1 = 3 и m2 = 2.

Теперь, в общем случае решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:

y = C1 · e^{m1 · x} + C2 · e^{m2 · x},

где C1 и C2 – произвольные константы.

Подставим найденные корни:

y = C1 · e^3x + C2 · e^2x.

Таким образом, мы нашли общее решение дифференциального уравнения.

Ответ:

y = C1 · e^3x + C2 · e^2x.