Задача 73904 Доказать что векторы а=(2,-1,2)...
Условие
Решение
Если векторы образуют базис, то определитель из них не равен 0.
[m]\begin{vmatrix}
2 & -1 & 2 \\
-3 & 1 & 1 \\
1 & -2 & -3 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 2*1(-3) + 2(-3)(-2) + 1*1(-1) - 1*1*2 - 2*1(-2) - (-3)(-3)(-1) =
= -6 + 12 - 1 + 4 + 9 = 18 ≠ 0
Значит, (→ a; → b; → c) - это базис.
Теперь разложим вектор → d(4; 1; 2) по базису (→ a; → b; → c).
Вектор → d можно записать так:
→ d = m*(→ a) + n*(→ b) + p*(→ c)
В координатах это будет так:
(4; 1; 2) = m(2; -1; 2) + n(-3; 1; -1) + p(1; -2; -3)
Это равенство можно преобразовать в систему:
{ 2m - 3n + p = 4
{ -m + n - 2p = 1
{ 2m - n - 3p = 2
Решаем эту систему. Поменяем местами уравнения:
{ -m + n - 2p = 1
{ 2m - 3n + p = 4
{ 2m - n - 3p = 2
Умножаем 1 уравнение на 2 и складываем со 2 и с 3 уравнениями:
{ -m + n - 2p = 1
{ 0m - n - 3p = 6
{ 0m + n - 7p = 4
Складываем 2 и 3 уравнения:
{ -m + n - 2p = 1
{ 0m - n - 3p = 6
{ 0m + 0n - 10p = 10
Из 3 уравнения [b]p = -1[/b], подставляем во 2 уравнение:
-n + 3 = 6, отсюда [b]n = -3[/b], подставляем в 1 уравнение:
-m - 3 + 2 = 1, отсюда [b]m = -2[/b].
Разложение вектора → d по базису (→ a; → b; → c):
d = -2a - 3b - c