Задача 73851 Составить уравнения касательной и...

654119f06a3d934b9615c0a3

31 октября 2023 г. в 18:15

Составить уравнения касательной и нормали к кривой y=2х²+3х–1в точке с абсциссой х=–2.

5f282cfba9074b3a3bc0f013

31 октября 2023 г. в 18:49

★

1) Находим значение функции в точке M: f(–2) = 2·(–2)² + 3·(–2) – 1 = 4
Таким образом, координаты точки M: (–2, 4)

2) Находим производную функции f'(x) = (2x² + 3x – 1)' = 4x + 3

3) Находим значение производной в точке M: f'(–2) = 4·(–2) + 3 = –5
Следовательно, угловой коэффициент касательной –5.

4) Уравнение касательной прямой, проходящей через точку M(–2, 4) с угловым коэффициентом k=–5:
y = k·(x – x0) + y0, где (x0, y0) – координаты точки M.
Подставляя значения, получаем:
y = –5·(x + 2) + 4 = –5x – 10 + 4 = –5x – 6

5) Угловой коэффициент нормали – это обратное число с противоположным знаком от коэффициента касательной. Таким образом, угловой коэффициент нормали: –1/(–5) = 1/5

6) Уравнение нормали, проходящей через точку M(–2, 4) с угловым коэффициентом 1/5:
y = (1/5)·(x + 2) + 4 = (1/5)x + 2/5 + 4 = (1/5) x + 22/5

Ответ:
Уравнение касательной: y = –5x – 6
Уравнение нормали: y = (1/5)x + 22/5