Задача 73850 Найти частные решения (частные интегралы...

Александр Правин

31 октября 2023 г. в 15:54

Найти частные решения (частные интегралы ) уравнения удовлетворяющие указанным начальным условиям: xy''=1, y(1)=0, y'(1)=2

admin

31 октября 2023 г. в 18:57

★

Данное уравнение второго порядка имеет вид: xy'' = 1.

1. Чтобы решить это уравнение, сначала сделаем замену и разделим обе стороны уравнения на x, чтобы упростить его: y'' = 1/x. Выбирая y' как новую переменную, у нас получается следующее уравнение первого порядка: dy'/dx = 1/x.

2. Теперь, этот одномерный интеграл можно легко вычислить интегрированием каждой стороны по dx: ∫dy' = ∫1/x dx. Решение этого интеграла равно: y' = ln(x) + C1.

3. Чтобы избавиться от первой константы, примем решение производной, y’(1) = 2, что дает нам C1 = 2 – ln(1) = 2.

4. Тогда, получаем уравнение y' = ln(x) + 2.

5. Далее, находим первоначальную функцию, интегрируя каждую сторону : ∫ y'dx = ∫ (ln(x) + 2) dx.

6. Итак, можно найти частное решение этого уравнения: y = xln(x) – x + 2x + C2.

7. Чтобы найти подходящую константу C2, используем начальное условие y(1) = 0. Подставив это в наше уравнение, находим: 0 = 1ln(1) – 1 + 2 + C2, что дает С2 = –1.

Таким образом, частным решением уравнения с начальными условиями y(1) = 0, y'(1) = 2 является:

y(x) = x·ln(x) – x + 2·x – 1 = x + xln(x) – 1.