Задача 73842 плоскости, для каждой из которых сумма...
Условие
для каждой из которых сумма расстояний до точек
F1(−4; 0) и F2(4; 0) равна 10.
Решение
Как я понял, нужно найти уравнение такой кривой на плоскости, чтобы для каждой точки кривой
сумма расстояний до точек F1(−4; 0) и F2(4; 0) была равна 10.
Сразу скажу: кривая, для которой сумма расстояний до двух точек одинакова - это эллипс.
(Заодно: кривая, для которой разность расстояний до двух точек одинакова - это гипербола.)
Докажем, что наша кривая - это эллипс.
Расстояние от точки M1(x1; y1) до точки M2(x2; y2) можно найти по формуле:
[m]d=\sqrt{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}[/m]
Запишем расстояния от некой точки M(x; y) до точек F1 и F2:
[m]d1=\sqrt{(x+4)^2+(y-0)^2} = \sqrt{(x+4)^2+y^2}[/m]
[m]d2=\sqrt{(x-4)^2+(y-0)^2} = \sqrt{(x-4)^2+y^2}[/m]
Сумма этих расстояний должна быть равна 10:
[m]d1 + d2 = \sqrt{(x+4)^2+y^2} + \sqrt{(x-4)^2+y^2} = 10[/m]
Перенесём один из корней:
[m]\sqrt{(x+4)^2+y^2} = 10 - \sqrt{(x-4)^2+y^2}[/m]
Возводим в квадрат:
[m](x+4)^2+y^2 = 100 - 20\sqrt{(x-4)^2+y^2} + (x-4)^2+y^2[/m]
[m]x^2 + 8x + 16+y^2 = 100 - 20\sqrt{(x-4)^2+y^2} + x^2 - 8x + 16+y^2[/m]
[m]8x = 100 - 20\sqrt{(x-4)^2+y^2} - 8x[/m]
Выделяем корень:
[m]20\sqrt{x^2 - 8x + 16+y^2} = 100 - 16x[/m]
Сокращаем на 4:
[m]5\sqrt{x^2 - 8x + 16+y^2} = 25 - 4x[/m]
Снова возводим в квадрат:
25(x^2 - 8x + 16 + y^2) = 625 - 200x + 16x^2
25x^2 - 200x + 400 + 25y^2 = 625 - 200x + 16x^2
9x^2 + 25y^2 = 225
Делим всё на 225:
[m]\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1[/m]
Это каноническое уравнение эллипса с полуосями a = 5; b = 3