Задача 73811 12. Составить уравнение прямой AB и...

Монни

30 октября 2023 г. в 13:52

12. Составить уравнение прямой AB и найти расстояние от точки C до этой прямой, если A(6; 1; 6), B(10; −2; 13), C(5; 2; 4).

admin

31 октября 2023 г. в 19:20

★

Дано: точки A(6; 1; 6), B(10; –2; 13), C(5; 2; 4).

Решение:

Сначала нам нужно составить параметрическое уравнение прямой AB.

Параметрическое уравнение прямой имеет вид: x = x1 + t(a1), y = y1 + t(a2), z = z1 + t(a3).

Здесь (x1, y1, z1) – координаты точки, через которую проходит прямая, а (a1, a2, a3) – направляющий вектор прямой, который может быть найден как разность координат точек B и A: AB = {x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1}. Найдем координаты вектора AB:

AB = {10 – 6; –2 – 1; 13 – 6} = {4, –3, 7};

Тогда параметрические уравнения прямой AB будут выглядеть так:

x = 6 + 4t,
y = 1 – 3t,
z = 6 + 7t.

Затем нам нужно найти расстояние от точки C до прямой AB.

Расстояние от точки до прямой в пространстве равно модулю векторного произведения вектора, идущего от данной точки до какой–либо точки прямой, на направляющий вектор прямой, деленного на модуль направляющего вектора.

Сначала найдем вектор AC = {x1 – x, y1 – y, z1 – z},

где (x, y, z) – координаты точки C:

AC = {6 – 5; 1 – 2; 6 – 4} = {1; –1; 2}.

Теперь найдем векторное произведение векторов AC и AB:

AC x AB = {(AC2·AB3 – AC3·AB2); (AC3·AB1 – AC1·AB3); (AC1·AB2 – AC2·AB1)}
= {(–1·7 – 2·(–3); 2·4 – 1·7; 1·(–3) – (–1)·4} = {–7 + 6; 8 – 7; –3 + 4} = {–1, 1, 1}.

Теперь найдем модули векторов AB и AC x AB:

|AB| = √4² + (–3)² + 7² = √16 + 9 + 49 = √74,
|AC x AB| = √(–1)² + 1² + 1² = √1 + 1 + 1 = √3.

Тогда расстояние от точки C до прямой AB равно:

d = |AC x AB| / |AB| = √3 / √74.

Ответ:

Уравнение прямой AB:
x = 6 + 4t,
y = 1 – 3t,
z = 6 + 7t;

Расстояние от точки C до прямой AB: d = √3 / √74.