Задача 73803 M (1; 3; 2) N (1;-1;0) K (0; 1; -1) S...
Условие
Решение
Для нахождения векторов SM, SN и SK возьмем разность координат от S до соответствующих точек M, N и K.
Вектор SM = M - S = (1, 3, 2) - (-1, 0, 1) = (1 + 1, 3 - 0, 2 - 1) = (2, 3, 1)
Вектор SN = N - S = (1, -1, 0) - (-1, 0, 1) = (1 + 1, -1 - 0, 0 - 1) = (2, -1, -1)
Вектор SK = K - S = (0, 1, -1) - (-1, 0, 1) = (0 + 1, 1 - 0, -1 - 1) = (1, 1, -2)
S – основание треугольника MNK:
Упростим задачу и найдем середины сторон треугольника MNK, а затем используем эти середины для нахождения точки S.
Середина отрезка MN:
x = (1 + 1) / 2 = 1
y = (3 – 1) / 2 = 1
z=(2+0)/2=1
Середина отрезка NK:
x=(0+1)/2=0.5
y=(1+(-1))/2=0
z=(-1+0)/2=-0.5
Точка S – середина отрезка, соединяющего середины сторон MN и NK:
x=(1+0.5)/2=0.75
y=(1+0)/2=0.5
z=(1+(-0.5))/2=0.25
Точка S (0.75, 0.5, 0.25) – это основание треугольника MNK.
Объем пирамиды MNKS:
Объем пирамиды можно найти, используя основания Герона или с помощью векторных свойств. Мы уже нашли векторы SM, SN и SK и можем использовать их для вычисления объема пирамиды.
Объем пирамиды V = (1/6) * |SM · (SN x SK) |
Сначала найдем векторное произведение SN и SK:
SN x SK = |i j k |
|2 -1 -1 |
|1 1 -2 |
SN x SK = i((-1) * (-2) - (-1) * 1) - j(2 * (-2) - (-1) * 1) + k(2 * 1 - (-1) ) * 1)
= i(2 - (-1)) - j(-4 - (-1)) + k(2 + 1)
= i(3) - j(-3) + k(3)
SN x SK = 3i + 3j + 3k
Теперь найдем скалярное произведение SM и (SN x SK):
SM · (SN x SK) = (2, 3, 1) · (3i + 3j + 3k) = 2 * 3 + 3 * 3 + 1 * 3 = 6 + 9 + 3 = 18
Теперь вычислим объем пирамиды:
V = (1/6) * |SM · (SN x SK) | = (1/6) * |18| = 3
Объем пирамиды MNKS равен 3 кубическим единицам.
Точка H – это вершина пирамиды MNKS, которая не принадлежит к плоскости MNK и может быть найдена, используя среднюю точку основания MNK и вершины S:
Точка H = (S + 2/3* (середина MNK))
Середина MNK:
x=(1+0.75)/2=0.875
y=(1+0.5)/2=0.75
z=(0.25+0)/2=0.125
Точка H = (0.75, 0.5, 0.25) + 2/3*(0.875, 0.75, 0.125)
Точка H = (0.75, 0.5, 0.25) + (1.1667, 1, 0.0833)
Точка H=(1.9167, 1.5, 0.3333)
Точка H (1.9167, 1.5, 0.3333) – это вершина пирамиды MNKS, которая не принадлежит к плоскости MNK.
Vektory SM, SN, SK: