Задача 73787 ...

марбии

28 октября 2023 г. в 21:01

Найти границы, не пользуясь правилом Лопиталя lim_x→0 √2–√2–x / 2x

exponenta

28 октября 2023 г. в 22:55

★

$lim_{x→ 0 }\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2-x}}{2x}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2-0}}{2\cdot 0}=\frac{0}{0}$–неопределенность

Умножаем на $(\sqrt{2}+\sqrt{2-x})$ и числитель и знаменатель:


$=lim_{x→ 0}\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{2-x})\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{2-x})}{2x\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{2-x})}=lim_{x→0 }\frac{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{2-x})^2}{2x\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{2-x})}=lim_{x→0 }\frac{2x}{2x\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{2-x})}=lim_{x →0} \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2-x}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$