Задача 73709 Функция y=f(x) задана различными...

topovyasn

25 октября 2023 г. в 13:41

Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных облостей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции:

Удачник66

25 октября 2023 г. в 16:21

★

y =
{ √1–x²; x ≤ 0
{ 1; 0 < x ≤ 2
{ x–2; x > 2
Это кусочно–непрерывная функция.
На каждом отдельном промежутке она непрерывна.
Проверим разрывы на концах промежутков.
1) x = 0
Предел слева, при x ≤ 0:
[m]y = \lim \limits_{x \to 0-0} \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-0^2} = \sqrt{1} = 1[/m]
Предел справа, при 0 < x ≤ 2:
[m]y = \lim \limits_{x \to 0+0} 1 = 1[/m]
Значения равны, значит, при x = 0 разрыва нет.

2) x = 2
Предел слева, при 0 < x ≤ 2:
[m]y = \lim \limits_{x \to 2-0} 1 = 1[/m]
Предел справа, при x > 2:
[m]y = \lim \limits_{x \to 2+0} (x-2) = 2-2 = 0[/m]
Значения разные, значит, при x = 2 неустранимый разрыв 1 рода.

График прилагается.