Задача 73556 Разложите по формуле бинома Ньютона...

Sofiaggpo

19 октября 2023 г. в 19:16

Разложите по формуле бинома Ньютона (2a+3b)⁴

exponenta

19 октября 2023 г. в 20:48

★

Потому что Исаак Ньютон – английский физик, математик, механик и астроном,
один из создателей классической физики и математического анализа.

Бином Ньютона — это формула, которая помогает возвести сумму двух чисел в любую степень.

Для n= 2
формула имеет вид
(a + b)^2 = a² + 2ab + b².

Для n= 3
формула имеет вид
(a + b)^3 = a³ + 3a²b +3ab²+ b³


a²+2ab+b² коэффициенты 1; 2; 1

a³ + 3a²b +3ab²+ b³ коэффициенты 1; 3; 3; 1

Эти коэффициенты выписывают в виде треугольника
( треугольник называется треугольником Паскаля)

(см фото 1)

Можно заметить, что по боковым сторонам этого треугольника одни единицы.

Коэффициент 2 во второй строке получен как сумма стоящих над двойкой двух единиц первой строки.

2=1+1

3=1+2

Поэтому треугольник можно продолжить и следующая строка будет имет коэффициенты:

по краям
1...... 1

4=1+3
6+3+3
4=3+1

Тогда

(a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+6ab³+b⁴


(2a+3b)⁴=(2a)⁴+4·(2a)³·(3b)¹+6·(2a)²·(3b)²+4·(2a)·(3b)³+(3b)⁴=

=16a⁴+96a³b+216 a²b²+216ab³+81b⁴ – это ответ