Задача 73471 ...

[ ]

18 мая 2023 г. в 12:40

lim _{x ⇒ 0}(arcsin2x·ctgπx)

admin

22 октября 2023 г. в 23:03

★

lim _{x ⇒ 0} arcsin2x/ (1/ctgπx)

= lim _{x ⇒ 0} arcsin2x · tgπx.

Теперь найдем производные arcsin2x и tgπx:

(arcsin2x)' = (1/√(1 – (2x)²)) · 2 = 2/√(1 – 4x²).
(tgπx)' = π/(cos²(πx)).

Согласно правилу Лопиталя теперь находим предел отношения производных:

lim _{x ⇒ 0} (2/√(1 – 4x²)) / (π/(cos²(πx)))

= lim _{x ⇒ 0} (2cos²(πx)) / (√(1 – 4x²) · π).

Теперь можно подставить x=0 и получим:

2·cos²(0) / (√(1 – 4·0) · π) = 2/π.