Задача 73282 Найти частное решение уравнения. d2...

blind

11 октября 2023 г. в 12:54

Найти частное решение уравнения.
d2 y/dx2 = x–cos2x. y(0)=9/4; y'(0)=–1

Удачник66

11 октября 2023 г. в 13:38

★

$\frac{d^2y}{dx^2} = x - cos(2x)$; y(0) = 9/4; y'(0) = –1
Здесь просто надо взять интеграл два раза.
$\frac{dy}{dx} = \int (x - cos(2x))dx = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \cdot sin(2x) + C1 = \frac{x^2}{2} - \frac{sin(2x)}{2} + C1$
Подставляем начальное условие y'(0) = –1:
$\frac{dy}{dx} = \frac{0^2}{2} - \frac{sin(0)}{2} + C1 = 0 - 0 + C1 = -1$
C1 = –1
$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{2} - \frac{sin(2x)}{2} - 1$

$y = \int (\frac{x^2}{2} - \frac{sin(2x)}{2} - 1)dx = \frac{x^3}{6} + \frac{cos(2x)}{4} - x + C2$
Подставляем начальное условие y(0) = 9/4:
$y = \frac{0^3}{6} + \frac{cos(0)}{4} - 0 + C2 = 0 + \frac{1}{4} - 0 + C2 = \frac{9}{4}$
C2 = 9/4 – 1/4 = 2
Ответ: y = x³/6 + cos(2x)/4 – x + 2