Задача 73040 В системе счисления с некоторым...

6463760f673f242e44a4830b

16 мая 2023 г. в 15:25

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 85 записывается в виде 151. Укажите это основание.

admin

12 октября 2023 г. в 16:45

★

Все числа, записанные в позиционной системе счисления с некоторым основанием, имеют вид:

a_n · bⁿ + a_n–1 · b^n–1 + ... + a₁ · b¹ + a₀ · b⁰

где

n – позиция каждого символа в числе, отсчитываемая справа налево начиная с нуля
b – основание системы счисления
a_i – символ на i–й позиции

В нашем случае число 151 записано в системе счисления с некоторым основанием, которое мы хотим найти. Это число равно 85 в десятичной системе. Нам известно, что первый символ справа это единица, поэтому мы можем записать:

85 = 1 · b² + 5 · b¹ + 1 · b⁰

b² + 5b + 1 = 85.

b² + 5b – 84 = 0.

D = 5² – 41(–84) = 25 + 336 = 361.

Так как D>=0, у нас есть два решения:

b = [–5+–√361] / 2(–1).

b1 = (5 + √361) / 2 = 7.
b2 = (5 – √361) / 2 = –12.

Основание системы счисления не может быть отрицательным, поэтому мы отклоняем второй результат. Основание системы счисления равно 7.

Ответ: 7