Задача 72674 ...

Валентина_250141696

18 сентября 2023 г. в 13:20

Исследуйте средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и постройте её график Y=(2x²–6)/(x–2)

exponenta

19 сентября 2023 г. в 10:50

★

Область определения (– ∞ ;2)U(2;+ ∞ ).

Область определения НЕ симметрична относительно 0

Функция НЕ является ни чётной, ни нечётной


Прямая [m] x=2 [/m] является вертикальной асимптотой.

Так как [m] lim_{x → 0}\frac{2 x^2-6}{x-2}= ∞ [/m]

[m] lim_{x → -0}\frac{2 x^2-6}{x-2}=- ∞ [/m]
[m] lim_{x → +0}\frac{2 x^2-6}{x-2}=+ ∞ [/m]

Горизонтальной асимптоты нет, так как

[m] lim_{x →- ∞}\frac{2 x^2-6}{x-2}= -∞ [/m]
[m] lim_{x →+ ∞}\frac{2 x^2-6}{x-2}= +∞ [/m]

Наклонная асимптота :

y=2x+4

[m] k= lim_{x → ∞}\frac{f(x)}{x}=lim_{x → ∞}\frac{2 x^2-6}{x(x-2)}=2[/m]

[m] b= lim_{x → ∞}(y-kx)=lim_{x → ∞}\frac{2 x^2-6}{x-2}-2x=lim_{x → ∞}\frac{2 x^2-6-2x(x-2)}{x-2}=lim_{x → ∞}\frac{4x-6}{x-2}=4[/m]


Исследование с помощью первой производной:

[m]y`=(\frac{2 x^2-6}{x-2})`[/m]

[m]y`=\frac{(2 x^2-6)`\cdot(x-2)-(2x^2-6)\cdot (x-2)`}{(x-2)^2}[/m]


[m]y`=\frac{4 x\cdot (x-2)-(2x^2-6)\cdot 1}{(x-2)^2}[/m]

[m]y`=\frac{4x^2-8x-2x^2+6}{(x-2)^2}[/m]

[m]y`=\frac{2x^2-8x+6}{(x-2)^2}[/m]

[m]y`=\frac{2(x^2-4x+3)}{x^4}[/m]

y`=0

x²–4x+3=0

x=1; x=3

Расставляем знак производной на на области определения

___+__ (1) ____–__ (2) __– __ (3) __+___

y`<0 на (–2;0) и на (1;2 ) и (2;3)

Значит функция убывает на (1;2 ) и (2;3)


y`>0 на (– ∞ ; 1) и на (3;+ ∞ )

Значит, функция возрастает на (– ∞ ; 1) и на (3;+ ∞ )

х=1 – точка максимума, производная меняет знак с + на –
x=3 – точка минимума, производная меняет знак с – на +


[m]y(1)=\frac{2 \cdot 1^2-6}{1-2}=4[/m]

[m]y(3)=\frac{2 \cdot 3^2-6}{3-2}=12[/m]