Задача 72601 При якому значенні коефіціента.......
Условие
Решение
При каком значении k прямая y = kx + 9 проходит через точку пересечения этих прямых?
Найдем точку пересечения, для этого решим систему:
{ x – y + 5 = 0
{ x + 2y + 2 = 0
Решаем подстановкой:
{ x = y – 5
{ y – 5 + 2y + 2 = 0
3y = 5 – 2
y = 1; x = 1 – 5 = –4
Точка пересечения: (–4; 1). Подставляем ее в уравнение прямой:
y = kx + 9
1 = –4k + 9
4k = 9 – 1
k = 2
2) Прямая проходит через точку M(2; 5) и имеет с осью Ox угол, равный arctg(3).
Найти на этой прямой точку с абсциссой, равной 2.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b
Угловой коэффициент прямой k равен тангенсу угла наклона к оси Ox.
k = tg a = tg(arctg(3)) = 3
Подставляем в уравнение координаты точки М:
5 = 3·2 + b
b = 5 – 6 = –1
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = 3x – 1
Но все это можно было не искать, потому что точка с абсциссой 2 –
это сама точка М(2; 5).
3) Даны уравнения сторон треугольника:
6x – 5y + 8 = 0; 4x – 2y + 2 = 0; x – 3y – 3 = 0
Найти уравнения его медиан.
Найдем сначала координаты вершин треугольника.
Для этого решим 3 системы:
а)
{ 6x – 5y + 8 = 0
{ 4x – 2y + 2 = 0
Решаем подстановкой:
{ y = 2x + 2
{ 6x – 5(2x + 2) + 8 = 0
6x – 10x – 10 + 8 = 0
–4x – 2 = 0
x = –0,5; y = 2x + 2 = 2(–0,5) + 2 = 1
A(–0,5; 1)
б)
{ 6x – 5y + 8 = 0
{ x + 3y – 3 = 0
Решаем подстановкой:
{ x = 3y + 3
{ 6(3y + 3) – 5y + 8 = 0
18y + 18 – 5y + 8 = 0
13y = –26
y = –2; x = 3y + 3 = 3(–2) + 3 = –3
B(–3; –2)
в)
{ 4x – 2y + 2 = 0
{ x – 3y – 3 = 0
Решаем подстановкой:
{ y = 2x + 1
x – 3(2x + 1) – 3 = 0
x – 6x – 3 – 3 = 0
5x = –6
x = –6/5 = –1,2; y = 2x + 1 = 2(–1,2) + 1 = –1,4
C(–1,2; –1,4)
Теперь находим координаты середин сторон.
M1 – середина стороны AB.
M1((–0,5–3)/2; (1–2)/2)
M1(–1,75; –0,5)
M2 – середина стороны BC.
M2((–3–1,2)/2; –2–1,4)/2)
M2(–2,1; –1,7)
M3 – середина стороны AC.
M3((–0,5–1,2)/2; (1–1,4)/2)
M3(–0,85; –0,2)
И, наконец, строим уравнения медиан по двум точкам:
а) Вершина А соединяется с M2 – серединой стороны BC.
A(–0,5; 1); M2(–2,1; –1,7)
(AM2) : (x + 2,1)/(–0,5 + 2,1) = (y + 1,7)/(1 + 1,7)
(x + 2,1)/1,6 = (y + 1,7)/2,7
Умножаем на 100 знаменатели левой и правой части:
(x + 2,1)/160 = (y + 1,7)/270
270(x + 2,1) = 160(y + 1,7)
270x + 567 = 160y + 272
270x – 160y + 295 = 0
Делим на 5:
(AM2) : 54x – 32y + 59 = 0
б) Вершина B соединяется с M3 – серединой стороны AC.
B(–3; –2); M3(–0,85; –0,2)
(BM3) : (x + 3)/(–0,85 + 3) = (y + 2)/(–0,2 + 2)
(x + 3)/2,15 = (y + 2)/1,8
Умножаем на 100 знаменатели левой и правой части:
(x + 3)/215 = (y + 2)/180
Делим на 5 знаменатели левой и правой части:
(x + 3)/43 = (y + 2)/36
36(x + 3) = 43(y + 2)
36x + 108 = 43y + 86
(BM3) : 36x – 43y + 22 = 0
в) Вершина С соединяется с M1 – серединой стороны AB.
C(–1,2; –1,4); M1(–1,75; –0,5)
(CM1) : (x + 1,75)/(–1,2 + 1,75) = (y + 0,5)/(–1,4 + 0,5)
(x + 1,75)/0,55 = (y + 0,5)/(–0,9)
Умножаем на 100 знаменатели левой и правой части:
(x + 1,75)/55 = (y + 0,5)/(–90)
Делим на 5 знаменатели левой и правой части:
(x + 1,75)/11 = (y + 0,5)/(–18)
–18(x + 1,75) = 11(y + 0,5)
–18x – 31,5 = 11y + 5,5
(CM1) : 18x + 11y + 37 = 0