Задача 72451 Доказать, что множество всех целых...

641174128cfb9210f616c190

04.09.2023 22:51:32

Доказать, что множество всех целых чисел, кратных трем, является аддитивной абелевой
группой.

5f3eaa23faf909182968dde0

05.09.2023 11:54:40

★

(Аддитивной) абелевой группой называется множество A с операцией сложения, обладающей следующими свойствами:
1) a + b = b + a для любых a, b ∈ A (коммутативность);
2) (a + b) + c = a + (b + c) для любых a, b, c ∈ A (ассоциативность);
3) в A существует такой элемент 0 (нуль), что a + 0 = a для любого
a ∈ A;
4) для любого элемента a ∈ A существует такой элемент −a ∈ A
(противоположный элемент), что a + (−a) = 0

Рассмотрим множество целых чисел, кратных 3:
..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, ...
Проверим свойства:
1) -6+3=-3,
3+(-6)=-3,
-6+3=3+(-6)=-3 - коммутативность выполняется;

2) (-6+3)+9=-3+9=6,
-6+(3+9)=-6+12=6,
(-6+3)+9=-6+(3+9)=6 - ассоциативность выполняется;

3) 3+0=3 - нулевой элемент существует;

4) 3+(-3)=0 - противоположный элемент существует.

Значит, множество всех целых чисел, кратных трем, является аддитивной абелевой группой.