Задача 72431 Решите неравенство...

@woshdnutella

1 сентября 2023 г. в 00:34

Решите неравенство
15^х–27·5^х/х·3^х–4·3^х–27х+10<=1/х–4

Удачник66

1 сентября 2023 г. в 11:50

★

[m]\frac{15^{x} - 27 \cdot 5^{x}}{x \cdot 3^{x} - 4\cdot 3^{x} - 27x + 108} ≤ \frac{1}{x-4}[/m]
Область допустимых значений переменной:
{ x ≠ 4
{ x·3^x – 4·3^x – 27x + 108 ≠ 0
Решаем:
{ x ≠ 4
{ 3^x·(x – 4) – 27(x – 4) ≠ 0
Раскладываем на скобки:
{ x ≠ 4
{ (x – 4)(3^x – 27) ≠ 0
Получаем:
{ x ≠ 4
{ 3^{x} – 27 ≠ 0, отсюда x ≠ 3
ОДЗ: x ∈ (–oo; 3) U (3; 4) U (4; +oo)

Решаем само неравенство:
[m]\frac{3^{x} \cdot 5^{x} - 27 \cdot 5^{x}}{(x - 4)(3^{x} - 27)} - \frac{1}{x-4} ≤ 0[/m]
[m]\frac{5^{x}(3^{x} - 27)}{(x - 4)(3^{x} - 27)} - \frac{1}{x-4} ≤ 0[/m]
Так как по ОДЗ 3^{x} – 27 ≠ 0, то 3^{x} – 27 можно сократить.
[m]\frac{5^{x}}{x - 4} - \frac{1}{x-4} ≤ 0[/m]
[m]\frac{5^{x} - 1}{x - 4} ≤ 0[/m]

Так как дробь не положительна, то числитель и знаменатель имеют разные знаки. Получается два варианта:
1)
{ 5^x – 1 ≤ 0
{ x – 4 > 0
Решаем:
{ 5^x ≤ 5⁰
{ x > 4
Так как функция y = 5^x возрастающая, получаем:
{ x ≤ 0
{ x > 4
Эта система решений не имеет.

2)
{ 5^x – 1 ≥ 0
{ x – 4 < 0
Решаем:
{ 5^x ≥ 5⁰
{ x < 4
Так как функция y = 5^x возрастающая, получаем:
{ x ≥ 0
{ x < 4
Получаем:
x ∈ [0; 4)
Но по ОДЗ x ≠ 3, поэтому

Ответ: x ∈ [0; 3) U (3; 4)