Задача 72399 Прямые, параллельные одной стороне...

Артем Игоревич

22 августа 2023 г. в 19:53

Прямые, параллельные одной стороне треугольника, делят другие стороны на 10 равных частей. Какая часть треугольника закрашена?

Удачник66

22 августа 2023 г. в 20:53

★

Я расставил буквы.
1) По теореме Фалеса A1C = 1/10·A10C, B1C = 1/10·B10C
Высота треугольника A1B1C тоже равна 1/10 высоты A10B10C.
Поэтому площадь
S(A1B1C) = (1/10)²·S(A10B10C) = 1/100·S(A10B10C)
Тоже самое можно сказать про треугольники A2B2C, A3B3C, ..., A9B9C.

2) A2C = 2/10·A10C, B2C = 2/10·B10C
Высота треугольника A2B2C тоже равна 2/10 высоты A10B10C.
Поэтому площадь
S(A2B2C) = (2/10)²·S(A10B10C) = 4/100·S(A10B10C)
И так далее до:
9) A9C = 9/10·A10C, B9C = 9/10·B10C
Высота треугольника A9B9C тоже равна 9/10 высоты A10B10C.
Поэтому площадь
S(A9B9C) = (9/10)²·S(A10B10C) = 81/100·S(A10B10C)

Площадь темной части:
[m]S = (\frac{81}{100} - \frac{64}{100} + \frac{49}{100} - \frac{36}{100} + \frac{25}{100} - \frac{16}{100} + \frac{9}{100} - \frac{4}{100} + \frac{1}{100}) \cdot S(A10B10C)= [/m]
[m] =\frac{81-64+49-36+25-16+9-4+1}{100} \cdot S(A10B10C) = \frac{45}{100} \cdot S(A10B10C) = 0,45 \cdot S(A10B10C)[/m]