Задача 72393 В треугольнике АВС «ВАС=30°, отношение...

64e312c0831e28546989ef61

21 августа 2023 г. в 10:48

В треугольнике АВС «ВАС=30°, отношение АВ:АС= 4\/3: 9. Окружность, центр которой совпадает с центром описанной вокруг треугольника АВС окружности, касается стороны ВС в её середине и пересекает сторону АВ в точках О и Е. Найдите отношение ОЕ:ВС.

exponenta

21 августа 2023 г. в 19:00

★

По теореме синусов ( Δ АВС)

BC/sin ∠ A=2R

∠ A= ∠ BAC=30 ° – вписанный угол, значит ∠ BOC=60 ° – центральный угол

BC=R ⇒

BK=KC=R/2 ( К – точка касания окружности радиуса r со стороной ВС) ⇒


r=OK=R√3/2




DO=OE=OK=r=R·√3/2



По условию
АВ/AC=4√3/9 ⇒ AB=4√3·k; AC=9·k

По теореме косинусов

BC²=AB²+AC²–2·AB·AC·cos30 °

BC²=48·k²+81·k²–2·4√3·k·9·k·√3/2

BC²=21k²

⇒ R=√21·k

По теореме синусов

AB/sin ∠ C=2R

sin ∠ C=2/√7

AC/sin ∠ B=2R

sin ∠ B=9/(2·√21)


По свойству касательной и секущей:

BD·BE=BK²