Задача 72368 Забыл решение, подскажите x^2+2y^2=z^2,...

64d7673eb45f98532cacd522

12.08.2023 14:07:12

Забыл решение, подскажите x^2+2y^2=z^2, есть ли решение в целых числах.

626fab9a354ab65fb2f43abb

12.08.2023 21:29:19

x^2 + 2y^2 = z^2
2y^2 = z^2 - x^2
[b]2y^2 = (z - x)(z + x)[/b]

Тут могут быть разные варианты, один из вариантов:
{ z - x = 2
{ z + x = y^2
Подставляем:
{ z = x + 2
{ x + 2 + x = y^2
2x + 2 = y^2
2(x + 1) = y^2
Так как y^2 четное, то очевидно, y тоже четное.
[b]y = 2k[/b]; y^2 = 4k^2
2(x + 1) = 4k^2
x + 1 = 2k^2
Например, k = 3, тогда y = 2k = 6,
x + 1 = 2k^2 = 2*3^2 = 2*9 = 18
[b]x = 2k^2 - 1[/b] = 18 - 1 = 17
[b]z =[/b] x + 2 = (2k^2 - 1) + 2 = [b]2k^2 + 1[/b] = 18 + 1 = 19
Проверяем:
x^2 + 2y^2 = z^2
17^2 + 2*6^2 = 289 + 2*36 = 289 + 72 = 361 = 19^2
Всё сходится.
Ответ: Да, натуральные решения существуют.
При любом натуральном k имеем: x = 2k^2 - 1; y = 2k; z = 2k^2 + 1

Это уравнение:
2y^2 = (z - x)(z + x)
Может иметь и другое решение:
{ z - x = y
{ z + x = 2y
Этот вариант предлагаю решить вам самому.