Задача 72343 Найдите точку максимума функции y = -...
Условие
y = - (x^2+25) / x
Решение
Находим производную. Точки экстремумов функции - это точки, в которых производная равна 0 или не существует.
Заметим, что функция не существует при x = 0.
Неустранимый разрыв 2 рода - уход в бесконечность.
[m]y' = -\frac{2x \cdot x - (x^2 + 25) \cdot 1}{x^2} = -\frac{2x^2 - x^2 - 25}{x^2} = -\frac{x^2 - 25}{x^2} = \frac{25 - x^2}{x^2} =0[/m]
Если дробь равна 0, то ее числитель равен 0, а знаменатель нет.
25 - x^2 = 0
(5 - x)(5 + x) = 0
x1 = -5; [m]y(-5) = -\frac{25+25}{-5} = \frac{50}{5} = 10[/m]
x2 = 5; [m]y(5) = -\frac{25+25}{5} = -\frac{50}{5} = -10[/m]
При x < -5 будет y' < 0 - функция убывает.
При x ∈ (-5; 0) будет y' > 0 - функция возрастает.
Значит, x1 = -5 - точка минимума.
При x ∈ (0; 5) будет y' > 0 - функция возрастает.
При x > 5 будет y' < 0 - функция убывает.
Значит, x2 - точка максимума.
Ответ: 5