Задача 72329 а) Решите уравнение 1 + log5(x^4 + 26) =...

64cc314067f9dc226b19c619

4 августа 2023 г. в 02:02

а) Решите уравнение 1 + log₅(x⁴ + 26) = log_√5 √15x² + 270

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–2,8; 1,2].

626fab9a354ab65fb2f43abb

4 августа 2023 г. в 03:54

★

Сначала находим областо определения.
{ x⁴ + 26 > 0
{ 15x² + 270 > 0
x ∈ (–oo; +oo)
Теперь решаем само уравнение.
Нужно свести все логарифмы к основанию 5.
1 = log₅(5)
log_√5 √15x²+270 = log₅ (15x²+270)
Получаем:
log₅(5) + log₅ (x⁴ + 26) = log₅ (15x² + 270)
Сумма логарифмов равна логарифму произведения.
log₅ (5x⁴ + 130) = log₅ (15x² + 270)
Теперь можно избавиться от логарифмов
5x⁴ + 130 = 15x² + 270
И можно разделить все числа на 5 и привести подобные.
x⁴ – 3x² – 28 = 0
(x² – 7)(x² + 4) = 0
x1 = –√7; x2 = √7
Подставив в начальное уравнение, убеждаемся, что они оба подходят.