Задача 72296 Число 27 = х + у представьте в виде...

64be2240b846e16d4fa4c7c7

24 июля 2023 г. в 10:04

Число 27 = х + у представьте в виде суммы двух целых слагаемых х и у так, чтобы значение выражения 5х2 + 4у? было наименьшим. В ответе укажите наибольшее из этих слагаемых х или у

626fab9a354ab65fb2f43abb

24 июля 2023 г. в 16:46

★

Нужно представить число 27 в виде суммы двух натуральных чисел
27 = x + y
Так, чтобы выражение f(x; y) = 5x² + 4y² было наименьшим.
Из первого уравнения получаем:
y = 27 – x
f(x) = 5x² + 4(27 – x)² = 5x² + 4(x² – 54x + 729)
Значение функции будет наименьшим в точке, где f'(x) = 0.
f'(x) = 10x + 4(2x – 54) = 18x – 216 = 0
x = 216/18 = 12
y = 27 – 12 = 15
В ответе надо написать наибольшее из чисел x или y.
Ответ: 15

exponenta

24 июля 2023 г. в 12:20

27 = х + у ⇒ y=27–x



При y=27–x

выражение 5x²+4y принимает вид:

5x²+5·(27–x)

5x²–5x+135

Вопрос задачи:

При каких значениях х выражение 5x²–5x+135

принимает наименьшее значение


Обозначим

f(x)=5x²–5x+135

f`(x)=10x–5

f`(x)=0

10x–5=0


10x=5

x=5/10

x=0,5

5f3eaa23faf909182968dde0

25 июля 2023 г. в 07:19

Так как 27=х+у, то у=27–х, тогда
5x²+4y²=5x²+4·(27–x)²=5x²+4·(729–54x+x²)=
=5x²+2916–216x+4x²=9x²–216x+2916.
Рассмотрим функцию f(x)=9x²–216x+2916. Это квадратичная функция, графиком ее является парабола, ветви которой направлены вверх, значит, наименьшее значение функции будет в вершине параболы. Найдем абсциссу вершины параболы:
х=216/18=12.
Тогда у=27–12=15 и получаем:
27=12+15.
Наибольшее слагаемое 15.
Ответ: 15.