Задача 72266 Однородная тонкая пластина имеет форму...

64b78025152c10664df8233f

19.07.2023 09:19:40

Однородная тонкая пластина имеет форму прямоугольника стороны которого равны a и b. Пластина разделена на две част ‚ по линиИ параболы, вписанной в прямоугольник (см. рисунок) Найдите центр масс каждой части пластины.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.07.2023 11:28:34

★

Для однородной пластины масса
m=∫^(b) _(a)ydx
(масса численно равна площади криволинейной трапеции, заданной на отрезке [a;b], ограниченной y=f(x) и осью Ох)


M_(x)=(1/2)∫^(b) _(a)y^2dx- статический момент относительно оси Ох
M_(y)=∫^(b) _(a)x*y dx -статический момент относительно оси Оу


Тогда координаты центра тяжести:
x_(C)=M_(x)/m

y_(C)=M_(y)/m



Вводим систему координат ( см. рис)

Тогда уравнение параболы:
y^2=2px - каноническое уравнение параболы с осью Ох

Подставляем координаты точки С(a;b)
b^2=2pа

p=b^2/a

y=b^2/a


[b]y^2=b^2x/a[/b]- уравнение параболы




M_(x)=(1/2) ∫^(a) _(0)b^2x/a dx=[b]b^2a/4[/b]

M_(y)=∫^(a) _(0)x\sqrt(b^2x/a )dx=[b](b/sqrt(a))*( x^(5/2)/(5/2))|^(a)_(0)=(2/5)a^2b[/b]

m=∫^(a) _(0)\sqrt(b^2x/a )dx=b/sqrt(a)*(x^(3/2)/(3/2))|^(a)_(0)=(2/3)ba


x_(C_(1))=M_(x)/m=(3/8)ab

y_(C_(1))=M_(y)/m=(3/5)a



Аналогично для верхней части пластины...

[b]x=ay^2/b^2[/b]- уравнение параболы


M_(y)=(1/2) ∫^(b) _(0)(ay^2/b^2)^2 dy=[b]...[/b]

M_(x)= ∫^(b) _(0)(ay^2/b)y dy=[b]...[/b]


x_(C_(2))=M_(x)/m=...

y_(C_(2))=M_(y)/m=...