Задача 72219 ...
Условие
(x2 + 2a2 – 4x –a4 +3) √(x2–7x+6)≤0
Решение
Во–первых, область определения:
Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
x2 – 7x + 6 ≥ 0
(x – 1)(x – 6) ≥ 0
x ≤ 1 U x ≥ 6
Так как корень арифметический, то он сам неотрицательный.
√x2 – 7x + 6 ≥ 0
Решениями неравенства при любом а будут числа x1 = 1 и x2 = 6.
Далее, на этот корень можно сократить неравенство, потому что при всех x < 1 и при x > 6 сам корень будет положительным.
Решаем первую скобку.
x2 + 2a2 – 4x – a4 + 3 ≤ 0
Запишем левую часть как квадратное неравенство:
x2 – 4x + (–a4 + 2a2 + 3) ≤ 0
a = 1; b = –4; c = (–a4 + 2a2 + 3)
D/4 = (b/2)2 – ac = (–2)2 – 1·(–a4 + 2a2 + 3) = a4 – 2a2 + 1
D/4 = (a2 – 1)2 ≥ 0 при любом а.
Это неравенство всегда имеет два корня:
x3 = (–b/2 – √D/4)/a = (2 – (a2 – 1))/1 = 2 – a2 + 1 = 3 – a2
x4 = (–b/2 + √D/4)/a = (2 + (a2 – 1))/1 = 2 + a2 – 1 = a2 + 1
При D/4 = 0 будет один корень:
a2 – 1 = 0
(a – 1)(a + 1) = 0
a1 = –1; a2 = 1
x = –b/(2a) = 4/(2·1) = 2, но он не входит в область определения.
Теперь нам надо проверить корни x3 и x4 на область определения.
1)
{ 3 – a2 ≤ 1
{ a2 + 1 ≤ 1
Решаем:
{ a2 ≥ 2
{ a2 ≤ 0
Эта система решений не имеет.
2)
{ 3 – a2 ≤ 1
{ a2 + 1 ≥ 6
Решаем:
{ a2 ≥ 2
{ a2 ≥ 5
a ∈ (–oo; –√5) U (√5; +oo)
Так как x3 = 3 – a2 ≤ 1, а x4 = a2 + 1 ≥ 6, то решение неравенства:
x ∈ [3 – a2; 1] U [6; a2 + 1]
3)
{ 3 – a2 ≥ 6
{ a2 + 1 ≤ 1
Решаем:
{ a2 ≤ –3
{ a2 ≤ 0
Эта система решений не имеет.
4)
{ 3 – a2 ≥ 6
{ a2 + 1 ≥ 6
Решаем:
{ a2 ≤ –3
{ a2 ≥ 5
Эта система решений не имеет.
Итак, получили:
При любом а будет два решения: x1 = 1; x2 = 6
При a ∈ (–oo; –√5] U [√5; +oo) будет третье решение:
x ∈ [3 – a2; 1] U [6; a2 + 1]
При a = –√5 и при a = √5 это решение будет:
3 – a2 = 3 – 5 = –2; a2 + 1 = 5 + 1 = 6
x3 = [–2; 1] U [6]
Все решения
x2–7x+6 ≥ 0
D=49–24=25
x1=1; x2=6
x≤ 1 или x ≥ 6
При x≤ 1 или x ≥ 6
√x2–7x+6 ≥ 0
значит
x2+2a2–4x–a4+3 ≤ 0
Выделяем полные квадраты
(x2–4x+4)–(a4–2a2+1) ≤ 0
(x–2)2–(a2–1)2 ≤ 0
(x–2–a2+1)(x–2+a2–1) ≤ 0
(x–a2–1)(x+a2–3) ≤ 0
Решаем методом интервалов
x3=a2+1 или x4=3–a2
Решение неравенства:
a2+1 ≤ x ≤ 3–a2 или 3–a2 ≤ x ≤ a2+1
Так как x3=a2+1 или x4=3–a2
симметричны относительно точки x=2, так как (x3+x4)/2=2
a2+1 ≥ 1 при любом а
поэтому возможны следующие случаи расположения точек x1=1; x2=6; x3=a2+1; x4=3–a2
1 случай
_____ [1] _____(a2+1)___ (3–a2)___ [6] ____
1 ≤ a2+1 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ a2 ≤ 1
тогда
–1 ≤ –a2 ≤ 0 ⇒ 2 ≤ 3–a2 ≤ 3
x3 и x4 расположены между x1 и x2 и не удовлетворяют условию x≤ 1 или x ≥ 6
0 ≤ a2 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ |a |≤ 1 ⇒ a ∈ [–1;1] неравенство x2+2a2–4x–a4+3 ≤ 0
не имеет корней, и поэтому данное неравенство верно лишь при x=1; x=6
2 случай
______ (3–a2) ____ [1] _____________ [6] ____ (a2+1)___
{3–a2 ≤ 1 ⇒ a2 ≥ 4
{a2+1 ≥ 6 ⇒ a2 ≥ 5 ⇒
a2 ≥ 5
|a| ≥ √5
Условие задачи написано не полностью... поэтому и ответа не будет