Задача 7214 ...

AydarGasimyanov

29.02.2016

Решите неравенство 1/5^x+31≤4/5^(x+1)-1

vk141350086

22.11.2017

1/ (5^x + 31) ≤ 4/(5*5^x - 1);
5^x = t > 0; введем новую переменную, пусть будет t
1/(t + 31) ≤ 4/(5t - 1);
1/(t+31) - 4 / (5t - 1) ≤ 0; подставили t, теперь приведем к общему знаменателю.
(5t - 1 -4(t+31)) / (t+31)*(5t-1) ≤ 0;
(5 t - 1 - 4 t - 124) / (t+31)*(5t - 1) ≤ 0;
(t - 125) /(t+31)(5t-1) ≤ 0; находим нули числителя и знаменателя. Решаем методом интервалов, Точку х = 125 закрашиваем, точки х= - 31 и х = 1/5 пустые.
t = 125; t = - 31; t = 1/5.
- + - +
____(-31)_____(1/5)_______[125]_______t
Так как по условию t > 0 (показательная функция; ⇒
1/5 < t ≤ 125;
1/5 < 5^x ≤ 125;
5^(-1) < 5^x ≤ 5^3;
5 > 1; ⇒
- 1 < x ≤ 3.
Ответ х ∈( - 1; 3].
Можно конечно иначе, но там считать вручную сложнее.Этот метод на мой взгляд проще.