Задача 72101 Требуется изготовить ящик (без крышки) с...

648f7775508a807eded81e6c

19.06.2023 00:33:06

Требуется изготовить ящик (без крышки) с прямоугольным основанием и заданным объемом 57,6, отношение сторон основания которого равно 2:3. Какова должна быть высота ящика, чтобы его поверхность была наименьшей?


Высота камня, брошенного вертикально вверх со скоростью 8 м/с с начальной высоты 20 м от земли, меняется по закону ...

626fab9a354ab65fb2f43abb

19.06.2023 11:36:09

★

1) Задача на минимум площади поверхности.
Дано: Объем коробки равен 57,6 см^3
Соотношение сторон основания: 2 : 3
Найти высоту, при которой S(пов) ⇒ min.
Решение. Обозначим стороны основания 2x и 3x, высоту h.
Объём коробки:
2x*3x*h = 57,6
6x^2*h = 57,6
h = 57,6 : (6x^2) = 9,6/x^2
Поверхность коробки представляет собой дно и 4 стенки.
S(дно) = 2x*3x = 6x^2
Стенки у нас двух разных размеров, каждой по две штуки.
S(ст1) = 2x*h = 2x*9,6/x^2 = 19,2/x
S(ст2) = 3x*h = 3x*9,6/x^2 = 28,8/x
Общая площадь поверхности:
S(пов) = S(дно) + 2*S(ст1) + 2*S(ст2) ⇒ min
S(пов) = 6x^2 + 2*19,2/x + 2*28,8/x ⇒ min
S(пов) = 6x^2 + (38,4 + 57,6)/x ⇒ min
S(пов) = 6x^2 + 96/x ⇒ min
Площадь будет минимальной, когда ее производная будет равна 0.
S'(пов) = 12x - 96/x^2 = 0
12x = 96/x^2
x^3 = 96/12
x^3 = 8
x = 2 см
Стороны основания: 2x = 4 см и 3x = 6 см
Высота коробки: h = 9,6/x^2 = 9,6/4 = 2,4 см

Ответ: 2,4 см

2) Движение тела, брошенного вертикально вверх.
Это намного проще.
h(t) = 20 + 8t - gt^2/2 м
t = 2 c
v(t) = h'(t) = 8 - gt = 8 - 10t
v(2) = 8 - 10*2 = 8 - 20 = -12 м/с
Минус означает, что камень в это время летит вверх, а положительное направление скорости направлено вниз.